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容斥原理

容斥原理指的是一種排重，補漏的計算思想，形式化的來說，我們有如下公式：
\[\left | \bigcup_{i=1}^nS_i \right |=\sum_{i}|S_i|-\sum_{i,j}|S_i\cap S_j|+...+(-1)^{n-1}\left | \bigcap_{i=1}^nS_i \right |\]

設\(P=\{1,2,...,n\}\)，則容斥原理還有如下表現形式：
\[\left | \bigcup_{i=1}^nS_i \right |=\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}\left | \bigcap_{i\in T} S_i \right |\]

運用典型

容斥原理在很多計數題中都得到了很好的運用，最經典的就是歐拉函數計算式的推導。

定理：設\(n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times ...\times p_k^{a_k}\)，則有\(\phi(n)=n\times \sum_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})\)。

證明：
\(\phi(n)\)的定義為\(1-n\)的整數中與\(n\)互質的數的個數，于是所有\(p_1,p_2,...,p_k\)的倍數都不符合要求。設\(S_i\)代表\(1-n\)內\(p_i\)的倍數所組成的集合，那么可以得到：
\[\phi(n)=n-\left | \bigcup _{i=1}^kS_i \right |\]

利用容斥原理，我們可以得到：
\[\phi(n)=n-\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}\left | \bigcap_{i\in T} S_i \right |\]

不難得到
\[\left | \bigcap_{i\in T} S_i \right |=\frac{n}{\prod_{i\in T}p_i}\]

于是
\[\phi(n)=n-\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}\frac{n}{\prod_{i\in T}p_i}\\\phi(n)=n\times (1-\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}\frac{1}{\prod_{i\in T}p_i})\]

而由多項式乘法可以得到：\[1-\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}\frac{1}{\prod_{i\in T}p_i}=\sum_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})\]

所以證得結論：\[\phi(n)=n\times \sum_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})\]

Min-Max容斥

類似與容斥原理，我們有一種作用于最大最小值函數的容斥計算方法，稱為\(\min-\max\)容斥。

仍設\(P=\{1,2,...,n\}\)，則有

\[\max_{i=1}^n\{x_i\}=\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}\min_{i\in T}\{x_i\}\]

普通的\(\min-\max\)容斥還有另一種很常見的形式，即\(\min-\max\)具有對稱性：
\[\min_{i=1}^n\{x_i\}=\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}\max_{i\in T}\{x_i\}\]

具體證明可以參考這篇博客。

運用典型

\(\min-\max\)容斥最經典的運用就是結合數學期望的線性性，在求解\(\min-\max\)期望的題目中化繁為簡，靈活轉換。

形象的說，在期望中，兩個不相關隨機變量\(A,B\)不滿足：\[E(\max(A,B))=\max(E(A),E(B))\\ \ \\ E(\min(A,B))=\min(E(A),E(B))\]

但是我們可以利用\(\min-\max\)容斥在最大最小值間建立聯系：

\[E(\max_{i=1}^n\{x_i\})=\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}E(\min_{i\in T}\{x_i\})\\ \ \\ E(\min_{i=1}^n\{x_i\})=\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}E(\max_{i\in T}\{x_i\})\]

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轉載于:https://www.cnblogs.com/Parsnip/p/11273442.html

總結

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