函數的漸進增長

我們先通過一個例子來看一下，假設兩個算法的輸入規模都是n，算法A要做2n+3次操作，可以理解為先有一個n次的循環，執行完成后，再有一個n次的循環，最后有三次賦值或運算，共2n+3次操作，算法B要做3n+!次操作，那么這兩個算法那個更快呢？

我們發現，當n = 1時，算法A的效率不如算法B(次數比B多一次)。而當n = 2時，兩者效率相同；當n >2時，算法A就開始優于算法B了，隨著n的增加，算法A比算法B越來越好了。我們可以說，算法A總體上要好于算法B。

此時我們給出這樣的定義，輸入規模n在沒有限制的情況下，只要超過一個數值N，這個函數就總是大于另一個函數，我們稱函數是漸進增長的。

函數的漸進增長：給定兩個函數f(n)和g(n)，如果存在一個整數N，使得對于所有的n > N，f(n)總是比g(n)大，那么，就可以說f(n)的漸進增長大于g(n)。

從中我們可以發現，隨著n的增大，后面的+3還是+1其實是不影響最終的算法變化的，所以，我們可以忽略這些加法常數。

再來看第二個例子，算法C是4n + 8，算法D是2n2(平方) + 1：

當n≤3的時候，算法C要差于算法D（因為算法C次數比較多），但當n>3后，算法C的優勢就越來越優于算法D了，到后來更是遠遠勝過。而當后面的常數去掉后，我們發現其實結果沒有發生改變。甚至我們再觀察發現，哪怕去掉與n相乘的常數，這樣的結果也沒發生改變，算法C′的次數隨著n的增長，還是遠小于算法D′。也就是說，與最高次項相乘的常數并不重要。

再看第三個例子，算法E是2n2(平方)+3n+1，算法F是2n3(三次方)+3n+1

當n=1的時候，算法E與算法F結果相同，但當n>1后，算法E的優勢就要開始優于算法F，隨著n的增大，差異非常明顯。通過觀察發現，最高次項的指數大的，函數隨著n的增長，結果也會變得增長特別快。

來看最后一個例子。算法G是2n2(平方)，算法H是3n+1，算法I是2n2(平方)+3n+1：

這組數據應該就看得很清楚。當n的值越來越大時，你會發現，3n+1已經沒法和2n2的結果相比較，最終幾乎可以忽略不計。也就是說，隨著n值變得非常大以后，算法G其實已經很趨近于算法I。于是我們可以得到這樣一個結論，判斷一個算法的效率時，函數中的常數和其他次要項常常可以忽略，而更應該關注主項（最高階項）的階數。

判斷一個算法好不好，我們只通過少量的數據是不能做出準確判斷的。根據剛才的幾個樣例，我們發現，如果我們可以對比這幾個算法的關鍵執行次數函數的漸近增長性，基本就可以分析出：某個算法，隨著n的增大，它會越來越優于另一算法，或者越來越差于另一算法。這其實就是事前估算方法的理論依據，通過算法時間復雜度來估算算法時間效率。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的函数的渐进增长的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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