如果算法里面只有加減法，則算法時間算加減法的次數。
如果算法里面包含加法和乘法，則算法時間一般只算乘法次數，因為計算機計算加減法很快，可忽略。

問題：什么是好的算法？

一個程序的運行時間，依賴與算法的好壞和問題的輸入規模，問題的輸入規模是指輸入量的多少。

算法效率

• 最壞情況復雜度$T_{worst(n)}$
• 平均復雜度$T_{avg}(n)$

$$T_{avg(n)}\le T_{worst}(n)$$
除非特別指定，一般關心最壞情況的復雜度。

問題：怎么分析算法的復雜度？

不計循環索引的遞增和循環終止條件、變量聲明、打印結果等操作。

測定運行時間的方法：計算對運行時間由消耗的基本操作的執行次數。運行時間與這個計數成正比。

分析算法的運行時間：把基本操作的數量與輸入規模關聯起來，即基本操作的數量必須表示成輸入規模的函數。

判斷一個算法的效率時，函數中的常數和其他次要項常常可以忽略，而更應該關注主項（最高階項）的階數。

只需要關注隨著處理的數據的規模的增大，算法復雜度的增長趨勢。

在進行算法分析時，語句總的執行次數$T(n)$是關于問題規模n的函數，進而分析$T(n)$隨n的變化情況并確定$T(n)$的數量級。算法的時間復雜度，記作：$T(n)=O(f(n))$。它表示隨問題規模n的增大，算法執行時間的增長率和$f(n)$的增長率相同，稱作算法的漸近時間復雜度。其中$f(n)$是問題規模n的某個函數。

推導大O階方法：

用常數1取代運行時間中的所有加法常數。

在修改后的運行次數函數中，只保留最高階項。

如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。

得到的結果就是大O階。

時間復雜度的漸進表示法

• $T(n)=O(f(n))$表示存在常數$C>0$，$n_0>0$使得當$n\ge n_0$時有$T(n)\le C?f(n)$
• $T(n)=\Omega (g(n))$表示存在常數$C>0$，$n_0>0$使得當$n\ge n_0$時有$T(n)\ge C?g(n)$
• $T(n)=\theta (h(n))$表示同時有$T(n)=O(h(n))$和$T(n)=\Omega (h(n))$成立

$O(f(n))$可有無數種表達方式，一般取最小的上界
$\Omega (g(n))$可有無數種表達方式，一般取最大的上界
空間復雜度和時間復雜度同理

時間復雜度分析小竅門

• 若兩段算法分別有復雜度$T_1(n)=O(f_1(n))$和$T_2(n)=O(f_2(n))$，則
  $T_1(n)+T_2(n)=max(O(f_1(n)),O(f(n)))$
  $T_1(n)+T_2(n)=O(f_1(n)\times f_2(n))$
• 若$T(n)$是關于n的k階多項式，則$T(n)=\theta (n^k)$
• 一個for循環的時間復雜度等于循環次數乘以循環體代碼的復雜度
• if-else結構的復雜度取決于if的條件判斷復雜度和兩個分枝部分的復雜度，總復雜度取三者中最大
  
  
  

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法时间复杂度的渐进表示法 + 分析窍门的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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