高等代數–線性方程組

聲明： 本篇文章內容主要對《高等代數》第三版第三章內容的總結，復習

消元法

明確基礎名詞的含義： 未知量，方程個數，系數，常數項，方程的解，解集合，同解，一般解，自由未知量，系數矩陣，增廣矩陣，行向量，列向量，n維單位向量，導出組。

消元法實際上是反復的對方程組進行如下的三種變換：
1.用一非零的數乘某一方程;
2把一個方程的倍數加到另一個方程；
3.互換兩個方程的位置；

定義1： 變換1,2,3稱為線性方程組的初等變換。
初等變換總是把方程組變成同解的方程組。
我們做初等變換的目的總是為了得到一個階梯型方程組。

證明： 該定理的證明是根據初等變換將方程組化為階梯型方程組，可以得到方程的個數必然小于未知量的個數，所以必有非零解。
注意： 這個定理雖然看起來很淺顯，但是本章后面的絕大多數定理都是根據此定理得來的。

n維向量空間

a_i 稱為向量(1)的分量。

線性相關性

重要推論：
1.如果一向量組的一部分線性相關,那么這個向量組就線性相關。
2.如果一向量組線性無關,那么它的任何一個非空的部分組也線性無關。
3.如果一個向量組線性無關，那么在每一個向量上添加一個分量所得到的n+1維向量組也線性無關。(這個推論可以將n維向量展開可能更加的直觀)

證明：該定理的證明比較復雜，需要把握2點，其一是線性表出的定義(定義9)，其二是線性相關的定義(定義11^’)，熟練這兩個定義，將方程展開，再根據定理一即可證得。(具體證明請參照P123)

推論1： 如果向量組α₁,α₂,…,α_r,可以經向量組阝₁,阝₂,…,阝_s線性表出,且α₁,α₂,…,α_r,線性無關,那么r≤s.
推論2: 任意n+1個n維向量必線性相關.（結合單位向量來看）
推論3: 兩個線性無關的等價的向量組,必含有相同個數的向量.(這個推論后面運用極其廣泛，務必熟悉推論)

定義13： 一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關組。如果這個部分組本身是線性無關的,并且從這向量組中任意添個向量(如果還有的話),所得的部分向量組都線性相關。

重要概念：
1.一個線性無關向量組的極大線性無關組就是這個向量組自身。
2.任意一個極大線性無關組都與向量組本身等價。
3.一向量組的任意兩個極大線性無關組都是等價的。

定理3： 一向量組的極大線性無關組都含有相同個數的向量。

定義14： 向量組的極大線性無關組所含向量的個數稱為這個向量組的秩

重要概念：
1.向量組線性無關的充分必要條件為它的秩與它所含向量的個數相同。
2.等價的向量組必有相同的秩。

矩陣的秩

定義15： 所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩;矩陣的列秩就是矩陣的列向量組的秩。

定理4： 矩陣的行秩與列秩相等。

線性方程組有解判別定理

線性方程組解的結構

對于齊次線性方程組來說，有如下兩個重要性質：
1.兩個解的和還是方程組的解。
2.一個解的倍數還是方程組的解。

定義17： 齊次線性方程組(1)的一組解η₁,η₂,…,η_t稱為(1)的一個基礎解系,如果:
1)(1)的任一個解都能表成η₁,η₂,…,η_t 的線性組合;
2)η₁,η₂,…,η_t 線性無關;

定理8: 在齊次線性方程組有非零解的情況下,它有基礎解系,并且基礎解系所含解的個數等于n-r,這里r表示系數矩陣的秩(以下將看到,n-r也就是自由未知量的個數)。

注意： 定理的證明事實上就是一個具體找基礎解系的方法；證明該定理要明確兩點；其一，齊次線性方程組(1)的任意兩個解,只要自由未知量的值一樣,這兩個解就完全一樣.其二，任意的線性方程組的解都可由假定的基礎解系線性表出。

性質： 任何一個線性無關的與某一個基礎解系等價的向量組都是基礎解系。

對于非齊次線性方程組（帶有常數項的方程組來說）來說，有如下兩個重要性質：
1.線性方程組(9)的兩個解的差是它的導出組(1)的解。
2.線性方程組(9)的一個解與它的導出組(1)的一個解之和還是這個線性方程組的一個解。

二元高次方程組

詳細內容參照P148-P153

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參考書籍：《高等代數》第三版 王萼芳 石生明 修訂 高等教育出版社

總結

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