高等代数--矩阵
高等代數(shù)—矩陣
聲明： 本篇文章內(nèi)容主要對《高等代數(shù)》第三版第四章內(nèi)容的總結(jié)，復(fù)習(xí)
矩陣概念的一些背景
注意：在本章節(jié)的大多數(shù)定理的證明中，都需要把矩陣展開來運算，這樣有助于更加簡單的證明結(jié)論。
一些基本概念： 零矩陣，負(fù)矩陣，數(shù)量矩陣
矩陣的運算
注意：
1.矩陣的加法就是矩陣對應(yīng)的元素相加.相加的矩陣必須要有相同的行數(shù)和列數(shù)。
2.矩陣的加法滿足交換律和結(jié)合律
3.秩(A+B) ≤ 秩 (A) + 秩 (B)
注意：
1.矩陣A與B的乘積C的第 i 行第 j 列的元素等于第一個矩陣A的第 i 行與第二個矩陣B的第j列的對應(yīng)元素乘積的和。在乘積的定義中,要求第二個矩陣的行數(shù)與第一個矩陣的列數(shù)相等。
2.矩陣的乘法滿足結(jié)合律。
3.矩陣的乘法不滿足交換律。當(dāng)AB有意義時，BA不一定有意義。
4.兩個非零矩陣的乘積有可能是零矩陣。
轉(zhuǎn)置： 通俗的說，把一矩陣A的行列互換,所得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置,記為A’.
矩陣乘積的行列式與秩
定義6： 數(shù)域P上的n×n矩陣A稱為非退化的,如果|A|≠0;否則稱為退化的。
推論：
證明： 這里可以分為秩(AB)≤秩(A)和秩(AB)≤秩(B)兩塊來證明，每塊的單獨證明又可以從AB可以由A來線性表出結(jié)合線性方程組這塊來的定義來 證明。
矩陣的逆
定義7： n級方陣A稱為可逆的,如果有n級方陣B,使得AB=BA=E，這里E是n級單位矩陣。
定義8： 如果矩陣B適合AB=BA=E,那么B就稱為A的逆矩陣,記為A-1。
注意： 矩陣的逆具有唯一性。
矩陣的分塊
我們把一個大矩陣看成是由一些小矩陣組成的,就如矩陣是由數(shù)組成的一樣.特別在運算中,把這些小矩陣當(dāng)作數(shù)一樣來處理.這就是所謂矩陣的分塊。
關(guān)于矩陣分塊P184例子可以參考一下，給有助于加深對其理解。
通俗的來說，矩陣分塊的目的為了將0盡可能多的分到一起，使進(jìn)一步的化簡或者計算盡可能地方便。
初等矩陣
重點： 可以這樣來說，這部分的內(nèi)容是以后矩陣所有操作的基礎(chǔ)，需要重點的去關(guān)注這塊的內(nèi)容。
定義10： 由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。
所謂數(shù)域P上矩陣的初等行變換是指下列三種變換
1)以P中一個非零的數(shù)乘矩陣的某一行;
2)把矩陣的某一行的c倍加到另一行,這里c是P中任意個數(shù);
3)互換矩陣中兩行的位置
引理： 對一個s×n矩陣A作一初等行變換就相當(dāng)于在A的左邊乘上相應(yīng)的s×s初等矩陣; 對A作一初等列變換就相當(dāng)于在A的右邊乘上相應(yīng)的n×n的初等矩陣。
定義11： 矩陣A與B稱為等價的,如果B可以由A經(jīng)過一系列初等變換得到。
重點：
注意：
1.如果用一系列初等行變換把可逆矩陣A化成單位矩陣,那么同樣地用這一系列初等行變換去化單位矩陣,就得到A-1。
2.作n×2n矩陣(A E),用初等行變換把它的左邊一半化成E,這時,右邊的一半就是A-1。
分塊乘法的初等變換及應(yīng)用舉例
說明： 這塊的例子都比較有代表性，可以重點看一下，課本P193
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參考書籍：《高等代數(shù)》第三版 王萼芳 石生明 修訂 高等教育出版社
總結(jié)
