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UA MATH564 概率论计算至少有一个发生的概率：Waring公式

發布時間：2023/12/14 编程问答 31 豆豆

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UA MATH564 概率論計算至少有一個發生的概率：Waring公式

基于組合學的證明方法
基于概率論的證明方法

在推出Poincare公式后，計算 $n$ 個事件中至少有一個事件發生的概率的問題就徹底解決了。但數學家們又開始糾結了，Poincare公式只能夠計算至少有一個發生的概率，那有沒有能計算恰好有 $m$ 個事件同時發生的概率的方法呢？

假設用 $B_m$ 表示 $A1,?,AnA_1,\cdots,A_n$ 中正好有 $m$ 個發生的事件，則
$P(Bm)=∑k=mn(?1)k?mCkmSkP(B_m) = \sum_{k=m}^n (-1)^{k-m}C_k^mS_k$

這個公式叫做Waring公式。其中 $S_k$ 就是上一講定義的記號 $Sm=∑1≤i1<i2<?<im≤nP(Ai1∩Ai2∩?∩Aim)S_m = \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_m \le n} P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_m})$

基于組合學的證明方法

Feller的Introduction to Probability and its application中給出了基于組合學的證明方法。用反證法。我們要證明的公式等價于：假設 $E$ 是一個恰好包含在 $l$ 個事件中的子事件，當且僅當 $l = m$ 時， $P (E)$ 才是 $P(B_m)$ 的一部分。顯然這時 $P (E)$ 也是 $S1,S2,?,SlS_1,S_2,\cdots,S_l$ 的一部分，并且 $P (E)$ 只會出現在 $S_l$ 的一項中。如果 $l < m$ ，則 $P (E)$ 不是 $P(B_m)$ 的一部分。如果 $l > m$ ，則 $P (E)$ 會出現在 $Sk,k≥mS_k,k\ge m$ 的 $C_l^k$ 項中，因此對 $Sk,k≥mS_k,k\ge m$ 的貢獻是 $C_l^k C_k^m$ 根據容斥原理， $P (E)$ 對 $P(B_m)$ 的貢獻為
$ClmCmm?Clm+1Cm+1m+Clm+2Cm+2m+1??=Clm(Cl?m0?Cl?m1+?)=Clm(1?1)n?m=0C_l^mC_m^m - C_l^{m+1}C_{m+1}^m + C_l^{m+2}C_{m+2}^{m+1} - \cdots \\ = C_l^m(C_{l-m}^0 - C_{l-m}^1 + \cdots) = C_l^m(1-1)^{n-m} = 0$

這就說明了當且僅當 $l = m$ 時， $P (E)$ 才是 $P(B_m)$ 的一部分，因此上述公式成立。

基于概率論的證明方法

施利亞耶夫的概率論習題集提到了基于事件的Indicator function與期望的證明方法。我們記恰好發生的 $m$ 個事件為 $i1,i2,?,imi_1,i_2,\cdots,i_m$ ，記沒有發生的事件為 $j1,j2,?,jn?mj_1,j_2,\cdots,j_{n-m}$ ，記隨機變量 $X = I_A$ ，則恰好有 $m$ 個事件發生的隨機變量是
$∑Xi1Xi2?Xim(1?Xj1)?(1?Xjn?m)\sum X_{i_1}X_{i_2}\cdots X_{i_m} (1-X_{j_1})\cdots (1-X_{j_{n-m}})$

上式是對任意可能的 $i1,?,imi_1,\cdots,i_m$ 的選取的求和。事件的Indicator function的期望等于事件發生的概率，因此
$P(Bm)=E∑Xi1Xi2?Xim(1?Xj1)?(1?Xjn?m)P(B_m) = E\sum X_{i_1}X_{i_2}\cdots X_{i_m} (1-X_{j_1})\cdots (1-X_{j_{n-m}})$

注意 $(1?Xj1)?(1?Xjn?m)(1-X_{j_1})\cdots (1-X_{j_{n-m}})$ 的展開式中一共有 $2^{n-m}$ 項，其中一項為 $1$ ，因此概率中有一項為
$E∑Xi1Xi2?Xim=∑P(Ai1∩Ai2∩?∩Aim)E\sum X_{i_1}X_{i_2}\cdots X_{i_m} = \sum P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_m})$

其余展開式期望的計算與此類似，事件的Indicator function乘積的期望等于事件的交發生的概率。下面研究 $(1?Xj1)?(1?Xjn?m)(1-X_{j_1})\cdots (1-X_{j_{n-m}})$ 的展開式。

引理1 用示性函數表示的容斥原理為： $X_i = I_{A_i}$
$I?i=1nAi=1?∏i=1n(1?Xi)=∑i=1nXi?∑1≤i1<i2≤nXi1Xi2+?+(?1)m+1∑1≤i1<?<im≤nXi1?Xim?+(?1)nX1?XnI_{\bigcup_{i=1}^n A_i} =1 - \prod_{i=1}^n (1-X_i) = \sum_{i=1}^n X_i - \sum_{1 \le i_1 < i_2 \le n} X_{i_1}X_{i_2} + \cdots \\+ (-1)^{m+1}\sum_{1 \le i_1 < \cdots < i_m \le n} X_{i_1}\cdots X_{i_m} \cdots +(-1)^n X_1\cdots X_n$
基于這個引理把 $(1?Xj1)?(1?Xjn?m)(1-X_{j_1})\cdots (1-X_{j_{n-m}})$ 展開，然后把期望改寫成概率就可以得到Waring公式了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH564 概率论计算至少有一个发生的概率：Waring公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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