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2013.06.03

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輾轉(zhuǎn)相除法 百科名片 歐幾里德輾轉(zhuǎn)相除法, 又名歐幾里德算法(Euclidean algorithm)乃求兩個(gè)正整數(shù)之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至3000年前。簡(jiǎn)單的想法 　　設(shè)兩數(shù)為a、b(b＜a)，求它們最大公約數(shù)(a、b)的步驟如下：用b除a，得a＝bq......r 1(0≤r)。若r1=0，則(a，b)＝b；若r1≠0，則再用r1除b，得b＝r1q......r2 (0≤r2).若r2＝0，則(a，b)＝r1，若r2≠0，則繼續(xù)用r2除r1,……如此下去，直到能整除為止。其最后一個(gè)非零余數(shù)即為(a，b)。 原理及其詳細(xì)證明 　　在介紹這個(gè)方法之前，先說明整除性的一些特點(diǎn)(下文的所有數(shù)都是正整數(shù)，不再重覆)，我們可以這樣給出整除性的定義： 　　對(duì)于二個(gè)自然數(shù)a和b，若存在正整數(shù)q，使a=bq，則a能被b整除，b為a的因子，a為b的倍數(shù)。 　　如果a能被c整除，并且b也能被c整除，則c為a、b的公因數(shù)(公有因數(shù))。 　　由此我們可以得出以下推論： 　　推論1、如果a能被b整除(a=qb)，若k為正整數(shù)，則ka也能被b整除(ka=kqb) 　　推論2、如果a能被c整除(a=hc)，b也能被c整除(b=tc)，則(a±b)也能被c整除 　　因?yàn)?#xff1a;將二式相加：a+b=hc+tc=(h+t)c 同理二式相減：a－b=hc－tc=(h－t)c 　　所以：(a±b)也能被c整除 　　推論3、如果a能被b整除(a=qb)，b也能被a整除(b=ta)，則a=b 　　因?yàn)?#xff1a;a=qb　b=ta　a=qta qt=1 因?yàn)閝、t均為正整數(shù)，所以t=q=1 　　所以：a=b 　　輾轉(zhuǎn)相除法是用來計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，在數(shù)值很大時(shí)尤其有用，而且應(yīng)用在電腦程式上也十分簡(jiǎn)單。其理論如下: 　　如果 q 和 r 是 m 除以 n 的商及余數(shù)，即 m=nq+r，則 gcd(m,n)=gcd(n,r)。 　　證明是這樣的: 設(shè) a=gcd(m,n)，b=gcd(n,r) 　　證明： 　　∵a為m,n的最大公約數(shù)， 　　∴m能被a整除，且n也能被a整除， 　　∴由推論1得：qn也能被a整除， 　　∴ 由推論2得：m-qn也能被a整除， 　　又 ∵m-qn=r， 　　∴r也能被a整除，即a為n和r的公約數(shù)(注意：還不是最大公約數(shù)) 　　∵b為n和r的最大公約數(shù)，a為n和r的公約數(shù) 　　∴a≤b， 　　同理 　　∵b為n, r的最大公約數(shù)， 　　∴n能被b整除，且r也能被b整除， 　　∴由推論1得：qn也能被b整除， 　　∴由推論2得：qn+r也能被b整除， 　　又∵m=qn+r， 　　∴m也能被b整除，即b為m和n的公約數(shù)，(注意：還不是最大公約數(shù)) 　　∵a為m,n的最大公約數(shù)，b為m和n的公約數(shù)， 　　∴b≤a， 　　由以上可知： 　　a≤b與b≤a同時(shí)成立， 　　故可得 　　a=b， 　　證畢。 　　例如計(jì)算 gcd(546, 429) 　　gcd(546, 429) 546=1*429+117 　　=gcd(429, 117) 429=3*117+78 　　=gcd(117, 78) 117=1*78+39 　　=gcd(78, 39) 78=2*39 　　=39 [編輯本段]計(jì)算機(jī)算法自然語言描述 　　輾轉(zhuǎn)相除法是利用以下性質(zhì)來確定兩個(gè)正整數(shù) a 和 b 的最大公因子的： 　　1. 若 r 是 a ÷ b 的余數(shù), 則 　　gcd(a,b) = gcd(b,r) 　　2. a 和其倍數(shù)之最大公因子為 a。 　　另一種寫法是： 　　1. a ÷ b，令r為所得余數(shù)(0≤r＜b) 　　若 r = 0，算法結(jié)束；b 即為答案。 　　2. 互換：置 a←b，b←r，并返回第一步。 流程圖 　　 流程圖(當(dāng)型) 偽代碼 　　這個(gè)算法可以用遞歸寫成如下: 　　function gcd(a, b) { 　　if b<>0 　　return gcd(b, a mod b); 　　else 　　return a; 　　} c語言實(shí)現(xiàn) 　　/* 輾轉(zhuǎn)相除法(遞歸)*/ 　　#include 　　int Gcd(int a,int b); 　　int main(void ) 　　{ 　　int m,n,t; 　　printf("Enter the two figures:"); 　　scanf("%d %d",&m,&n); 　　printf("Gcd:%d\n",Gcd(m,n)); 　　return 0; 　　} 　　int Gcd(int m,int n)//最大公約數(shù) 　　{ 　　int t; 　　if(m

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總結(jié)

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