前言

眾所周知，位運算是我們學計算機必學的東西，前人用二進制、位運算給我們了一個操作簡單的計算機，但我們卻很少接觸位運算了。今天介紹一些位運算在算法中的運用。

位運算基礎

• &
  • 按位與
  • 如果兩個相應的二進制位都為1，則該位的結果值為1，否則為0
• |
  • 按位或
  • 兩個相應的二進制位中只要有一個為1，該位的結果值為1
• ^
  • 按位異或
  • 若參加運算的兩個二進制位值相同則為0，否則為1
• ~
  • 取反
  • ~是一元運算符，用來對一個二進制數按位取反，即將0變1，將1
• <<
  • 左移
  • 用來將一個數的各二進制位全部左移N位，右補0
• >>
  • 右移
  • 將一個數的各二進制位右移N位，移到右端的低位被舍棄，對于無符號數， 高位補0

奇技淫巧

1.技巧一：用于消去x的最后一位的1

x & (x-1) x = 1100 x-1 = 1011 x & (x-1) = 1000

1.1.應用一 用O(1)時間檢測整數n是否是2的冪次.

• 思路解析：N如果是2的冪次，則N滿足兩個條件。
  1.N>0
  2.N的二進制表示中只有一個1
  一位N的二進制表示中只有一個1，所以使用N&(N-1)將唯一的一個1消去。
  如果N是2的冪次，那么N&(N-1)得到結果為0，即可判斷。

1.2.應用二 計算在一個 32 位的整數的二進制表示中有多少個 1.

• 思路解析：
  由 x & (x-1) 消去x最后一位知。循環使用x & (x-1)消去最后一位1，計算總共消去了多少次即可。

1.3.將整數A轉換為B，需要改變多少個bit位

• 思路解析
  這個應用是上面一個應用的拓展。
  思考將整數A轉換為B，如果A和B在第i（0<=i<32）個位上相等，則不需要改變這個BIT位，如果在第i位上不相等，則需要改變這個BIT位。所以問題轉化為了A和B有多少個BIT位不相同。聯想到位運算有一個異或操作，相同為0，相異為1，所以問題轉變成了計算A異或B之后這個數中1的個數。

2.技巧二 使用二進制進行子集枚舉

應用.給定一個含不同整數的集合，返回其所有的子集

樣例

如果 S = [1,2,3]，有如下的解：
[ [3], [1], [2], [1,2,3], [1,3], [2,3], [1,2] ]

思路

思路就是使用一個正整數二進制表示的第i位是1還是0，代表集合的第i個數取或者不取。所以從0到2^n-1總共2n個整數，正好對應集合的2^n個子集。

S = {1,2,3} N bit Combination 0 000 {} 1 001 {1} 2 010 {2} 3 011 {1,2} 4 100 {3} 5 101 {1,3} 6 110 {2,3} 7 111 {1,2,3}

解題代碼

之后補充。

技巧三.a^b^b=a

3.1.應用一 數組中，只有一個數出現一次，剩下都出現三次，找出出現一次的。

問題

Given [1,2,2,1,3,4,3], return 4

解題思路

因為只有一個數恰好出現一個，剩下的都出現過兩次，所以只要將所有的數異或起來，就可以得到唯一的那個數。

C語言解題代碼

#include<stdio.h> int main() {int a[7]={1,2,2,1,3,4,3};int ans=0;for(int i=0;i<7;i++){ans^=a[i];}printf("%d\n",ans); }

3.2.應用二 數組中，只有一個數出現一次，剩下都出現三次，找出出現一次的。

問題

Given [1,1,2,3,3,3,2,2,4,1] return 4

解題思路

因為數是出現三次的，也就是說，對于每一個二進制位，如果只出現一次的數在該二進制位為1，那么這個二進制位在全部數字中出現次數無法被3整除。
模3運算只有三種狀態：00,01,10，因此我們可以使用兩個位來表示當前位%3，對于每一位，我們讓Two，One表示當前位的狀態，B表示輸入數字的對應位，Two+和One+表示輸出狀態。

0 0 0 0 00 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 1 01 0 1 0 0One+ = (One ^ B) & (~Two)Two+ = (~One+) & (Two ^ B)

C語言解題代碼

#include<stdio.h>void findNum(int *a,int n) {int one=0;int two=0;int i,j,k;for(i=0;i<n;i++){two=two|(one&a[i]);one=one^a[i];int three=two&one;two=two^three;one=one^three;}printf("%d\n",one|two); } int main() {int a[10]={1,1,2,3,3,3,2,2,4,1};findNum(a,10); }

另外一種容易理解的方法

#include<stdio.h>void findNum(int *a,int n) {int ans=0;int bits[32]={0};for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<32;j++){bits[j]+=((a[i]>>j)&1);}}for(int i=0;i<32;i++){if(bits[i]%3==1) ans+=1<<i;}printf("%d\n",ans); } int main() {int a[10]={1,1,2,3,3,3,2,2,4,1};findNum(a,10); }

3.3.應用三 數組中，只有兩個數出現一次，剩下都出現兩次，找出出現一次的

問題

Given [1,2,2,3,4,4,5,3] return 1 and 5

解題思路

有了第一題的基本的思路，我們不妨假設出現一個的兩個元素是x，y，那么最終所有的元素異或的結果就是res = x^y。并且res！=0，那么我們可以找出res二進制表示中的某一位是1，那么這一位1對于這兩個數x,y只有一個數的該位置是1。對于原來的數組，我們可以根據這個位置是不是1就可以將數組分成兩個部分。求出x,y其中一個，我們就能求出兩個了。

C語言解題代碼

#include<stdio.h>void findNum(int *a,int n) {int ans=0;int pos=0;int x=0,y=0;for(int i=0;i<n;i++)ans^=a[i];int tmp=ans;while((tmp&1)==0){//終止條件是二進制tmp最低位是1pos++;tmp>>=1;}for(int i=0;i<n;i++){if((a[i]>>pos)&1){//取出第pos位的值x^=a[i];}}y=x^ans;if(x>y) swap(x,y);//從大到小輸出x,yprintf("%d %d\n",x,y); } int main() {int a[8]={1,2,2,3,4,4,5,3};findNum(a,8); }

另外一種寫法

#include<stdio.h>void findNum(int *a,int n) {int diff=0;int x=0,y=0;for(int i=0;i<n;i++){diff^=a[i];}diff&=-diff;//取diff的最后一位1的位置for(int i=0;i<n;i++){if((a[i]&diff)==0){x^=a[i];}else y^=a[i];}if(x>y) swap(x,y);printf("%d %d\n",x,y); } int main() {int a[10]={1,2,2,3,4,4,5,3};findNum(a,8); }

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參考自大神：
微信：ninechapter。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的位运算——强大得令人害怕的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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