說明：本文主要參考資料為奧本海姆的《信號與系統(tǒng)》（第二版），推導(dǎo)過程中融入了少量個人理解。

假設(shè)我們已經(jīng)知曉了周期信號的傅里葉級數(shù)展開，在連續(xù)信號條件下，其傅里葉級數(shù)對為

x(t)=∑k=?∞+∞akejkω0t=∑k=?∞+∞akejk(2π/T)t(1)(1)x(t)=∑k=?∞+∞akejkω0t=∑k=?∞+∞akejk(2π/T)t

ak=1T∫Tx(t)e?jkω0tdt=1T∫Tx(t)e?jk(2π/T)tdt(2)(2)ak=1T∫Tx(t)e?jkω0tdt=1T∫Tx(t)e?jk(2π/T)tdt

其中，公式(1)為綜合公式，它描述如何將原始信號x(t)?x(t)?分解，公式(2)為分析公式，ak?ak?表示信號x(t)?x(t)?的傅里葉系數(shù)（也稱為頻譜系數(shù)），其物理意義是原始信號x(t)?x(t)?分解出來的每一個諧波分量強(qiáng)度的度量，其中當(dāng)k=0?k=0?時，即a0?a0?就是原始信號x(t)?x(t)?的直流分量（也稱為常數(shù)分量）。

類似地，在離散信號條件下，其傅里葉級數(shù)對為

x[n]=∑k=?N?akejkω0n=∑k=?N?akejk(2π/N)n(3)(3)x[n]=∑k=?N?akejkω0n=∑k=?N?akejk(2π/N)n

ak=1N∑n=?N?x[n]e?jkω0n=1N∑n=?N?x[n]e?jk(2π/N)n(4)(4)ak=1N∑n=?N?x[n]e?jkω0n=1N∑n=?N?x[n]e?jk(2π/N)n

其中，公式(3)為綜合公式，公式(4)為分析公式，其物理意義與上述連續(xù)信號類似。

現(xiàn)在我們需要將其表示傅里葉展開的手法推廣到非周期信號，首先引入基本思想：

非周期信號，可以被想象成周期無窮大的周期信號。對于周期信號而言，它的周期越大，那么它的基波頻率ω0=2π/Tω0=2π/T就越小，同時分解出來的各個頻率分量之間的“距離”也越近，這是因為頻譜圖頻率軸上樣本的間隔為2π/T2π/T（因為在周期復(fù)指數(shù)信號e?jω0tejω0t中ω0ω0表示頻率，相應(yīng)地這里k(2π/T)k(2π/T)為頻率，kk為整數(shù)，因此間隔為2π/T2π/T），它隨著周期的增大而變小。這樣，在周期趨近于無窮大時，這些頻率軸上的樣本會越來越密，傅里葉展開由原來的許多項進(jìn)行離散求和，而變?yōu)?strong>連續(xù)積分。

現(xiàn)在，我們假設(shè)有一個非周期信號x(t)x(t)，它具有有限的持續(xù)期，從該信號出發(fā)，可以構(gòu)建一個信號x~(t)x~(t)，使得x(t)x(t)是x~(t)x~(t)的一個周期，這樣當(dāng)周期TT無窮大時，x(t)x(t)就可以等于x~(t)x~(t)，由于x~(t)x~(t)是名義上的周期信號，因此我們可以先觀察x~(t)x~(t)的傅里葉級數(shù)展開情況。x(t)x(t)和x~(t)x~(t)的函數(shù)示意圖如下圖所示。

將信號x~(t)x~(t)進(jìn)行傅里葉展開，求解系數(shù)時，將積分區(qū)間設(shè)定為?T/2≤t≤T/2?T/2≤t≤T/2，有

x~(t)=∑k=?∞+∞akejkω0t(5)(5)x~(t)=∑k=?∞+∞akejkω0t

ak=1T∫T/2?T/2x~(t)e?jkω0tdt(6)(6)ak=1T∫?T/2T/2x~(t)e?jkω0tdt

其中ω0=2π/Tω0=2π/T，由于當(dāng)|t|<T/2|t|<T/2時x(t)=x~(t)x(t)=x~(t)，當(dāng)|t|≥T/2|t|≥T/2時x(t)=0x(t)=0，所以(6)式可以改寫為

ak=1T∫T/2?T/2x(t)e?jkω0tdt=1T∫+∞?∞x(t)e?jkω0tdt(7)(7)ak=1T∫?T/2T/2x(t)e?jkω0tdt=1T∫?∞+∞x(t)e?jkω0tdt
將(7)式兩邊乘以 TT，約掉等式右邊的分母TT，有
Tak=∫+∞?∞x(t)e?jkω0tdt(8)(8)Tak=∫?∞+∞x(t)e?jkω0tdt
對上述(8)式進(jìn)行變量替換，將 kω0kω0替換為 ωω，得到 TakTak的包絡(luò) X(jω)X(jω)
X(jω)=∫+∞?∞x(t)e?jωtdt(9)(9)X(jω)=∫?∞+∞x(t)e?jωtdt
這樣，按照這種表達(dá)方式，可以重新將傅里葉系數(shù)表示為
ak=1TX(jω)=1TX(jkω0)(10)(10)ak=1TX(jω)=1TX(jkω0)
此時，再將剛剛得到的(10)式帶入(5)式，可以重新描述 x~(t)x~(t)的傅里葉展開式
x~(t)=∑k=?∞+∞1TX(jkω0)ejkω0t(11)(11)x~(t)=∑k=?∞+∞1TX(jkω0)ejkω0t
又因為 2π/T=ω02π/T=ω0，因此(11)式可以進(jìn)一步改寫為
x~(t)=12π∑k=?∞+∞X(jkω0)ejkω0tω0(12)(12)x~(t)=12π∑k=?∞+∞X(jkω0)ejkω0tω0

注：公式(12)已經(jīng)更正，在末尾增加了ω0ω0，感謝Myriad_Dreamin同學(xué)的指正！

上文已經(jīng)提及，將傅里葉變換理解為周期無窮大的特殊情形，此時的傅里葉展開會由原來的離散求和變?yōu)檫B續(xù)積分，因此當(dāng)T→∞T→∞時，x~(t)→x(t)x~(t)→x(t)，上述(12)式將過渡為連續(xù)積分，并與上述公式(9)結(jié)合起來，有

x(t)=12π∫+∞?∞X(jω)ejωtdω(13)(13)x(t)=12π∫?∞+∞X(jω)ejωtdω

X(jω)=∫+∞?∞x(t)e?jωtdt(9)(9)X(jω)=∫?∞+∞x(t)e?jωtdt

公式(13)和公式(9)就是傅里葉變換對，其中上面一行的公式(13)稱為傅里葉逆變換（inverse Fourier transform），下面一行的公式(9)稱為x(t)x(t)的傅里葉變換（Fourier transform）或傅里葉積分，X(jω)X(jω)通常稱為x(t)x(t)的頻譜。

這樣，從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換的推導(dǎo)就完成了。

總結(jié)：從傅里葉級數(shù)展開，到傅里葉變換，關(guān)鍵并不在于其中的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，上述的代數(shù)推導(dǎo)中主要以變量替換為主，其表達(dá)方式與傅里葉級數(shù)展開并無太大區(qū)別，真正需要我們理解的是其中的思想：周期無窮大后，因為頻率樣本越來越密集，從而形成連續(xù)積分。明白了這一點(diǎn)，就不難理解傅里葉變換了。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的推导：从傅里叶级数展开到傅里叶变换的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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