題意

傳送門 P4408 [NOI2003] 逃學的小孩

題解

設路徑 $(C,A)$ 與路徑 $(A,B)$ 的第一個交點為 $D$，問題等價于從 $A$ 出發(fā)，找到兩條路徑 $(A,B),(A,C)$ 且滿足 $dist(A,D)\le dist(D,B)$，使 $dist(A,B)+dist(A,C)$ 最大。設 $A,B$ 為某條路徑的端點，則答案為 $$dist(A,B)+dist(C,D)+\min [dist(A,D),dist(D,B)],D\in path(A,B)$$ 設 $(A,D)$ 或 $(D,B)$ 為樹的直徑的分叉的一部分，根據直徑的最長性，將其替換為樹的直徑不會使答案更差。那么 $DFS$ 求解某條樹的直徑，再次 $DFS$ 求解直徑上各點到其子樹節(jié)點的最遠距離，枚舉路徑上的點更新答案即可。總時間復雜度 $O(N)$。

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn = 200005; int N, M, pre[maxn], num, rec[maxn]; int tot, head[maxn], to[maxn << 1], cost[maxn << 1], nxt[maxn << 1]; ll mx[maxn], ds[maxn]; bool in[maxn];inline void add(int x, int y, int z) {to[++tot] = y, cost[tot] = z, nxt[tot] = head[x], head[x] = tot; }void dfs(int x, int f, ll w, int &t) {ds[x] = w, pre[x] = f;if (ds[x] >= ds[t])t = x;for (int i = head[x]; i; i = nxt[i]){int y = to[i], z = cost[i];if (y != f)dfs(y, x, w + z, t);} }void dfs2(int x, int f, ll w) {mx[x] = w;for (int i = head[x]; i; i = nxt[i]){int y = to[i], z = cost[i];if (!in[y] && y != f)dfs2(y, x, w + z), mx[x] = max(mx[x], mx[y]);} }int main() {scanf("%d%d", &N, &M);for (int i = 1, x, y, z; i <= M; ++i)scanf("%d%d%d", &x, &y, &z), add(x, y, z), add(y, x, z);int s = 1, t = 0;dfs(s, 0, 0, t);s = t, t = 0;dfs(s, 0, 0, t);for (int i = t; i; i = pre[i])rec[++num] = i, in[i] = 1;for (int i = 1; i <= num; ++i)dfs2(rec[i], 0, 0);ll dm = ds[t], res = 0;for (int i = 1, p; i <= num; ++i)p = rec[i], res = max(res, dm + mx[p] + min(ds[p], dm - ds[p]));printf("%lld\n", res);return 0; }

總結

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