计算机txt公式,完整word版本积分公式
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基本積分公式表
(1)∫ 0dx=C
=ln|x|+C
(3)(m≠-1，x>0)
(4)(a>0,a≠ 1)
(5)
(6)∫ cosxdx=sinx+C
(7)∫ sinxdx=-cosx+C
(8)∫ sec2xdx=tanx+C
(9)∫ csc2xdx=-cotx+C
(10)∫ secxtanxdx=secx+C
(11)∫ cscxcotxdx=-cscx+C
(12)=arcsinx+C
=arctanx+C
注． (1)不是在 m=-1 的特例．
=ln|x|+C ， ln 后面真數 x 要加絕對值，原因是 (ln|x|)' =1/x．
事實上，對 x>0， (ln|x|)' =1/x；若 x<0，則
(ln|x|)' =(ln(- x))' =.
(3)要特別注意與的區別：前者是冪函數的積分，后者是指數函數的
積分．
下面我們要學習不定積分的計算方法，首先是四則運算．
不定積分的四則運算
根據微分運算公式
d(f(x) g(x))=d f(x) dg(x)
d(kf(x))=kdf(x)
我們得 不定積分的線性運算公式
(1)∫ [f(x) ±g(x)]d x=∫ f(x)dx±∫ g(x)dx
(2)∫ kf(x)dx=k∫f(x)dx， k 是非零常數 .
現在可利用這兩個公式與基本積分公式來計算簡單不定積分．
例 2.5.4 求∫ (x3+3x++5sinx－ 4cosx)dx
解.原式 = ∫x3dx+ ∫3xdx+7∫dx+5∫ sinxdx－4∫cosxdx
=+7ln| x|－ 5cosx－ 4sinx+C .
注. 此例中化為五個積分， 應出現五個任意常數， 它們的任意性使其可合并成一個任意常數 C ，因此在最后寫出 C 即可．
例 2.5.5 求∫ (1+)3dx
解.原式 = ∫(1+3+3x+)dx
=∫ dx+3∫dx+3∫ xdx+∫dx
=x+3+C
=x+2x++C.
注.∫ dx 與∫ 1dx 是相同的，其中 1 可省略．例 2.5.6 求
解.原式 =
=
－ x+arctanx+C .
注 .被積函數是分子次數不低于分母次數的分式，稱為有理假分式 ．先將其分出一
個整式 x2－1，余下的分式為有理真分式 ,其分子次數低于分母的次數．
例 2.5.7 求.
解.原式 =
=∫ csc2xdx－ ∫ sec2xdx= －cotx－ tanx+C .
注.利用三角函數公式將被積函數化簡成簡單函數以便使用基本積分公式
例 2.5.8 求.
.
解.原式 =
=+C .
為了得到進一步的不定積分計算方法，我們先用 微分的鏈鎖法則 導出不定積分的重
要計算方法換元法 .
思考題 .被積函數是有理假分式時，積分之前應先分出一個整式，再加上一個有理
真分式，一般情形怎樣實施這一步驟？
第一換元法(湊微分法)
我們先看一個例子：
例 2.5.9 求.
解 .因(1+x2)' =2x，與被積函數的分子只差常數倍數 2，如果將分子補成 2x,即可將原式變形：
原式 =(令 u=1+x2 )
=(代回 u=1+x2)
.
注 .此例解法的關鍵是湊了微分d(1+x2)．一般地
在 F '(u)=f(u),u= (x)可導 ,且 ' (x)連續的條件下 ,我們有第一換元公式 ( 湊微分 ) ：
u=(x)積分代回u=(x)
∫f[ (x)]' (x)dx∫f[ (x)]d(x) ∫f(u)du F(u)+C F[(x)]+C
其中函數(x)是可導的 ,且 F(u)是 f(u)的一個原函數．
從上述公式可看出湊微分法的步驟：
湊微分————→換元————→積分————→再換元
' (x)dx=d (x)u= (x)得 F(u)+C得 F[(x)]+ C
注.湊微分法的過程實質上是復合函數求導的鏈鎖法則的逆過程．事實上，在
F '(u)=f(u)的前提下，上述公式右端經求導即得:
[F[ (x)]+C]' =F '[(x)]' (x)=f[(x)]' (x)
這就驗證了公式的正確性．
例 2.5.10 求∫ (ax+b)mdx.(m≠-1,a≠ 0)
解 .原式 =(湊微分 d(ax+b ))
=
( 換元
u=ax+b)
=
(積分 )
=
.
(代回
u=ax+b)
例
2.5.11
求
.
解.原式 =
(湊微分 d(-x
3)=-3 x2dx)
=
=
=
(換元
u=- x3)
.
注 .你熟練掌握湊微分法之后，中間換元
u= (x)可省略不寫
,顯得計算過程更簡練
,
但要做到心中有數．
例 2.5.12 求∫ tanxdx
.
解.原式 =
=-ln|cosx|+C .
同理可得
∫ cotxdx=ln|sinx|+C .
例 2.5.13 求
(a>0)
.
解.原式 =
=.
例 2.5.14 求(a>0).
解.原式 =
=.
例 2.5.15 求
.
解.原式 =
=
=
=
.
例 2.5.16∫secxdx.
解.原式 =(換元 u=sin x)
=
=
=(代回 u=sinx)
=
=
=ln|secx+ tanx|+C .
公式 :∫ secxdx=ln|secx+tanx|+C .
例.2.5.17 求∫ cscxdx .
解.原式 =
=
=ln|cscx-cotx|+C .
公式 :∫ cscxdx=ln|cscx-cotx|+C .
湊微分法是不定積分換元法的第一種形式，其另一種形式是下面的第二換元法．
第二換元法
不定積分第一換元法的公式中核心部分是
f[ (x)] '(x)dx= ∫f(u)du
我們從公式的左邊演算到右邊，即換元：u= (x)．與此相反，如果我們從公式的右邊演
算到左邊，那么就是換元的另一種形式，稱為第二換元法 ．即若 f(u),u= (x),'(x)均連
續,u= (x)的反函數 x= -1(u)存在且可導 ,F(x) 是 f[ (x)] '(x) 的一個原函數 ,則有
∫f(u)du∫f[ (x)]'(x)dxF(x)+CF[ -1 (u)]+C .
第二換元法常用于被積函數含有根式的情況．
例 2.5.18 求
解.令(此處(t)=t2)．于是
原式 =
=
=(代回 t= -1 (x)=)
注.你能看到，換元=t 的目的在于將被積函數中的無理式轉換成有理式,然后積
分．
第二換元法除處理形似上例這種根式以外，還常處理含有根式，
，(a>0)的被積函數的積分．
被積函數含根式換元方法運用的三角公式
x=a sectsec2t-1= tan2t
x=a tanttan2t+1=sec2t
x=asint1－ sin2t= cos2 t
例 2.5.19 求. (a>0)
解.令 x=a sect，則 dx=a sect tant dt,于是
原式 ==∫sectdt
=ln|sect+ tant|+C1 .
到此需將 t 代回原積分變量x，用到反函數t= arcsec，但這種做法較繁．下面介
紹一種直觀的便于實施的圖解法：作直角三角形， 其一銳角為t 及三邊 a，x，
滿足：
sect=
由此，原式 =ln |sect+ tant|+C1
=
=
.
注． C1 是任意常數 ,-ln a 是常數 ,由此 C=C1-ln a 仍是任意常數．
例 2.5.20 求
(a>0)
.
解.令 x=a tant，則 dx=a sec2tdt，于是
原式 ==∫ sectdt
=ln |sect+ tant|+C1 ．
圖解換元得
原式 =ln |sect+ tant|+C1
=
.
公式 :
.
例 2.5.21 求(a>0)
.
解.令 x=a sint，則 dx=a costdt，于是原式 =
=
=+C
.
圖解換元得：
原式=+C
=+C .
除了換元法積分外，還有一個重要的積分公式，即分部積分公式 ．
思考題 .在第二換元法公式中，請你注意加了一個條件“u= (x)的反函數 x=(u)
存在且可導”，你能否作出解釋，為什么要加此條件？
分部積分公式
我們從 微分公式
d(uv)=vdu+udv
兩邊積分，即
d(uv)=∫vdu+∫udv
由此導出不定積分的分部積分公式
u dv=uv -∫ vd u
下面通過例子說明公式的用法．
例 2.5.22 求∫ x2lnxdx
解.∫ x2lnxdx
=(將微分 dlnx 算出 )
=
=.
例 2.5.23 求∫ x2sinxdx.
解.原式 =∫x2d(-cosx)(湊微分 )
=-x2cosx-∫( -cosx)d(x2 )(用分部積分公式)
=-x2cosx+∫ 2xcosxdx
=-x2cosx+2∫ xdsinx(第二次湊微分 )
=-x2cosx+2[ xsinx－ ∫ sinxdx] ( 第二次用分部積分公式)
=-x2cosx+2xsinx+2cosx+C .
例 2.5.24 求∫ exsinxdx.
解.∫ exsinxdx=∫ sinxdex(湊微分 )
=exsinx-∫ exdsinx
(用分部積分公式
)
=exsinx-∫ excosxdx
(算出微分
)
=exsinx-∫ cosxdex
(第二次湊微分
)
=exsinx-[excosx-∫
exdcosx]
(第二次用分部積分公式
)
=ex(sinx-cosx)
-∫
exsinxdx
(第二次算出微分
)
由此得：
2∫ exsinxdx=ex(sinx-cosx)+2C
因此 ∫ exsinxdx=(sinx-cosx)+C．
注.(1) 此例中在第二次湊微分時，必須與第一次湊的微分形式相同．否則若將∫
excosxdx 湊成 ∫ exdsinx,那將產生惡性循環，你可試試．
(2)積分常數 C 可寫在積分號 ∫ 一旦消失之后．
例 2.5.25 求∫ arctanxdx
解.此題被積函數可看作 x0arctanx， x0dx=dx，即適合分部積分公式中 u=arctanx，
v=x．故
原式 =xarctanx - ∫ xd(arctanx) (用分部積分公式 )
=xarctanx -dx(算出微分 )
=xarctanx -(湊微分 )
=xarctanx -ln(1+ x2)+C .
小結 .
(1)分部積分公式常用于被積函數是兩種不同類型初等函數之積的情形，例如
x3arctanx， x3lnx
冪函數與反正切或對數函數
x2sinx，x2cosx
冪函數與正弦
,余弦
x2ex
冪函數與指數函數
exsinx,excosx
指數函數與正弦
,余弦
等等．
(2)在用分部積分公式計算不定積分時，將哪類函數湊成微分dv，一般應選擇容易
湊的那個．例如
被積函數湊微分 dv
x3arctanx， x3lnx
arctanxd
，lnxd
2
2
2 x
2
2
2
x
x sinx， x cosx，x e
x
d(-cosx)， x dsinx， x de
exsinx，e x cosx
sinxdex，
cosxdex
我們已學習了不定積分的幾種常用方法，除了熟練運用這些方法外，在許多數學手
冊中往往列舉了幾百個不定積分公式，它們不是基本的，不需要熟記，但可以作為備查
之用，稱為 積分表 ．
思考題 .你仔細觀察分部積分公式，掌握其中使用的規律，特別是第一步湊微分時
如何選擇微分 .
積分表的使用
除了基本積分公式 之外，在許多數學手冊中往往列舉了幾百個補充的積分公式，構成了積分表．
下面列出本節已得到的基本積分公式 ．
(1)∫ 0dx=C
=ln|x|+C
(3)(m≠ -1,x>0)
(4)
(a>0,a≠ 1)
(5)
(6)∫ cosxdx= sinx+C
(7)∫ sinxdx= - cosx+C
(8)∫ sec2xdx= tanx+C
(9)∫ csc2xdx= - cotx+C
(10)∫ secxtanxdx=secx+C
(11)∫ cscxcotxdx= - cscx+C
(12)=arcsinx+C
=arctanx+C
(14)∫ tanxdx= - ln|cosx|+C
(15)∫ cotxdx= ln|sinx|+C
(16)=(a>0)
(17)
=
(a>0)
(18)
(a>0)
(19)=(a>0)
(20)∫ secxdx= ln|secx+ tanx|+C
(21)∫ cscxdx= ln|cscx-cotx|+C
利用積分表中的公式，可使積分計算大大簡化．積分表的使用方法比較簡單，現舉一例說明之．
例 2.5.26 求
解.從積分表中查得公式
則將 a=3， b= － 1， c=4 代入上式并添上積分常數C 即得解答：
=
.
總結
以上是生活随笔為你收集整理的计算机txt公式,完整word版本积分公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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