积分公式和常用方法总结
積分公式匯總
不定積分
不定積分的積分公式主要有如下幾類(lèi)：含ax+b的積分、含√(a+bx)的積分、含有x^2±α^2的積分、含有ax^2+b(a>0)的積分、含有√(a2+x^2) (a>0)的積分、含有√(a^2-x^2) (a>0)的積分、含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的積分、含有三角函數(shù)的積分、含有反三角函數(shù)的積分、含有指數(shù)函數(shù)的積分、含有對(duì)數(shù)函數(shù)的積分、含有雙曲函數(shù)的積分。
含a+bx的積分
含有a+bx的積分公式主要有以下幾類(lèi)：
含√(a+bx)的積分
含有√(a+bx)的積分公式主要包含有以下幾類(lèi)：
含有x^2±α^2的積分
含有ax^2+b(a>0)的積分
含有√(a^2+x^2) (a>0)的積分
被積函數(shù)中含有√(a^2+x^2) (a>0)的積分有?：
含有√(a^2-x^2) (a>0)的積分
被積函數(shù)中含有√(a^2-x^2) (a>0)的積分有：
對(duì)于a2>x2有：
含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的積分
被積函數(shù)中含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的積分有
含有三角函數(shù)的積分
被積函數(shù)中含有三角函數(shù)的積分公式有：
含有反三角函數(shù)的積分
被積函數(shù)當(dāng)中含有反三角函數(shù)的積分公式有：
含有指數(shù)函數(shù)的積分
被積函數(shù)當(dāng)中包含有指數(shù)函數(shù)的積分公式
含有對(duì)數(shù)函數(shù)的積分
被積函數(shù)當(dāng)中包含有對(duì)數(shù)函數(shù)的積分公式?
含有雙曲函數(shù)的積分
被積函數(shù)當(dāng)中包含有雙曲函數(shù)的積分公式有
定積分
定積分公式有以下幾種
積分性質(zhì)
?
通常意義上的積分都滿足一些基本的性質(zhì)。以下積分區(qū)域
??
的在黎曼積分意義上表示一個(gè)區(qū)間，在勒貝格積分意義下表示一個(gè)可測(cè)集合。積分的性質(zhì)有：線性性、保號(hào)性、極大值極小值、絕對(duì)連續(xù)性、絕對(duì)值積分等。
線性性
積分是線性的。如果一個(gè)函數(shù)f?可積，那么它乘以一個(gè)常數(shù)后仍然可積。如果函數(shù)f和g可積，那么它們的和與差也可積。
保號(hào)性
如果一個(gè)函數(shù)f在某個(gè)區(qū)間上黎曼可積，并且在此區(qū)間上大于等于零。那么它在這個(gè)區(qū)間上的積分也大于等于零。如果f勒貝格可積并且?guī)缀蹩偸谴笥诘扔诹?#xff0c;那么它的勒貝格積分也大于等于零。作為推論，如果兩個(gè)
??
上的可積函數(shù)f和g相比，f（幾乎）總是小于等于g，那么f的（勒貝格）積分也小于等于g的（勒貝格）積分。
如果黎曼可積的非負(fù)函數(shù)f在
??
上的積分等于0，那么除了有限個(gè)點(diǎn)以外，f = 0。如果勒貝格可積的非負(fù)函數(shù)f在
??
上的積分等于0，那么f幾乎處處為0。如果
??
中元素A的測(cè)度μ (A)等于0，那么任何可積函數(shù)在A上的積分等于0。
函數(shù)的積分表示了函數(shù)在某個(gè)區(qū)域上的整體性質(zhì)，改變函數(shù)某點(diǎn)的取值不會(huì)改變它的積分值。對(duì)于黎曼可積的函數(shù)，改變有限個(gè)點(diǎn)的取值，其積分不變。對(duì)于勒貝格可積的函數(shù)，某個(gè)測(cè)度為0的集合上的函數(shù)值改變，不會(huì)影響它的積分值。如果兩個(gè)函數(shù)幾乎處處相同，那么它們的積分相同。如果對(duì)
??
中任意元素A，可積函數(shù)f在A上的積分總等于（大于等于）可積函數(shù)g在A上的積分，那么f幾乎處處等于（大于等于）g。?
分部積分法
?
分部積分法是微積分學(xué)中的一類(lèi)重要的、基本的計(jì)算積分的方法。它的主要原理是利用兩個(gè)相乘函數(shù)的微分公式，將所要求的積分轉(zhuǎn)化為另外較為簡(jiǎn)單的函數(shù)的積分。根據(jù)組成被積函數(shù)的基本函數(shù)類(lèi)型，將分部積分的順序整理為口訣：“反對(duì)冪三指”。分別代指五類(lèi)基本函數(shù)：反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積分。
分部積分公式推導(dǎo)
設(shè)
??
及
??
是兩個(gè)關(guān)于
??
的函數(shù)，各自具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)
??
及
??
，則按照乘積函數(shù)求微分法則，則有
或者
對(duì)其兩邊進(jìn)行積分，且因
??
的原函數(shù)是
??
，得
如果將
??
和
??
用微分形式寫(xiě)出，則亦可得出
上兩式就表示出了分部積分法則。它把
??
的積分化為
??
的積分，也即分部積分的好處是，可將復(fù)雜的被積函數(shù)簡(jiǎn)化為另一較易求得的函數(shù)積分。
例如，要求
??
，則依分部積分法則，令
如此
則按上述公式有
?
四種典型模式
編輯
一般地，從要求的積分式中將
??
湊成
??
是容易的，但通常有原則可依，也就是說(shuō)不當(dāng)?shù)姆植孔儞Q不僅不會(huì)使被積分式得到精簡(jiǎn)，而且可能會(huì)更麻煩。分部積分法最重要之處就在于準(zhǔn)確地選取
??
，因?yàn)橐坏?/p>
??
確定，則公式中右邊第二項(xiàng)
?
中的
??
也隨之確定，但為了使式子得到精簡(jiǎn)，如何選取
??
則要依
??
的復(fù)雜程度決定，也就是說(shuō)，選取的
??
一定要使
??
比之前的形式更簡(jiǎn)單或更有利于求得積分。依照經(jīng)驗(yàn)，可以得到下面四種典型的模式。??記憶模式口訣：反（函數(shù)）對(duì)（數(shù)函數(shù)）冪（函數(shù)）三（角函數(shù)）指（數(shù)函數(shù)）。
?
模式一
通過(guò)對(duì)
??
求微分后，
??
中的
??
比
??
更加簡(jiǎn)潔，而
??
與
??
的類(lèi)型相似或復(fù)雜程度相當(dāng)。
例如，對(duì)于形如
??
的不定積分（其中
??
為
??
次多項(xiàng)式），由于對(duì)多項(xiàng)式求微分可以降次，且三角函數(shù)或指函數(shù)的積分則較容易求得，所以可以令
??
，而將另一個(gè)函數(shù)看成
?
通過(guò)分部求得積分。?
例如 求
?
首先，
?
對(duì)該式第二項(xiàng)再按此模式進(jìn)行分部積分，得
故原式
?
模式二
通過(guò)對(duì)
??
求微分使得它的類(lèi)型與
??
的類(lèi)型相同或相近，然后將它們作為一個(gè)統(tǒng)一的函數(shù)來(lái)處理。例如對(duì)形如
??
等的積分，總是令
??
，則
??
則為一個(gè)
??
次的多項(xiàng)式，另一個(gè)函數(shù)（
??
等）看成
??
。通過(guò)分部積分，很容易求出不定積分。?
例如，求
?
而該式第二項(xiàng)為
故原積分式
?
模式三
利用有些函數(shù)經(jīng)一次或二次求微分后不變的性質(zhì)，通過(guò)一次或二次分部積分后，使等式右端再次產(chǎn)生
??
，只要它的系數(shù)不為1，就可以利用解方程的方法求出原積分
?
?
例如，對(duì)于積分
??
和
?
按法則對(duì)他們進(jìn)行分部積分得
這樣，所求積分均由另一個(gè)積分所表示出來(lái)，將這兩式相加和相減（即解方程）得到所求積分表達(dá)式
以及
這兩個(gè)通用表達(dá)式就可以求出該類(lèi)型的所有積分式，比如
模式四
對(duì)某些形如
??
的不定積分，利用分部積分可降低
??
的次數(shù)，求得遞推公式，然后再次利用遞推公式，求出
?
?
例如，對(duì)于積分
?
當(dāng)
??
時(shí)，
?
當(dāng)
??
時(shí)，
?
而該式的第二項(xiàng)又可變換為?
將其帶入上式，則得到
故
最后，得到統(tǒng)一的遞推關(guān)系式
定積分
編輯
與不定積分的分部積分法一樣，可得?
簡(jiǎn)寫(xiě)為
?
例如
?
示例
?
例1：
?
例2
回代即可得到
??
的值
換元積分法
換元積分法（Integration By Substitution）是求積分的一種方法，主要通過(guò)引進(jìn)中間變量作變量替換使原式簡(jiǎn)易，從而來(lái)求較復(fù)雜的不定積分。它是由鏈?zhǔn)椒▌t和微積分基本定理推導(dǎo)而來(lái)的。
在計(jì)算函數(shù)導(dǎo)數(shù)時(shí).復(fù)合函數(shù)是最常用的法則,把它反過(guò)來(lái)求不定積分，就是引進(jìn)中間變量作變量替換，把一個(gè)被積表達(dá)式變成另一個(gè)被積表達(dá)式。從而把原來(lái)的被積表達(dá)式變成較簡(jiǎn)易的不定積分這就是換元積分法。換元積分法有兩種，第一類(lèi)換元積分法和第二類(lèi)換元積分法。
兩種方法
?
第一類(lèi)
第一類(lèi)換元法,也稱(chēng)為湊微分法，推導(dǎo)過(guò)程如下：
設(shè)
??
在
??
上有定義，
??
在
??
上可導(dǎo)，且
??
，
??
，并記
??
，
。若
??
在
??
上存在原函數(shù)
??
，則
??
在
??
上也存在原函數(shù)
??
，
??
，即
在使用時(shí)，也可把它寫(xiě)成如下簡(jiǎn)便形式：
使用這種方法的關(guān)鍵在于將
??
湊成
??
，以及
??
的原函數(shù)容易獲得，下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)講解：求
?
解：
第二類(lèi)
設(shè)
??
在
??
上有定義，
??
在
??
上可導(dǎo)，且
??
，
??
，并記
??
，
。若
??
，
??
，則當(dāng)
??
在
??
上存在原函數(shù)
??
時(shí)，
??
在
??
上也存在原函數(shù)
??
，且
??
，即
(其中 是
??
的反函數(shù))[2]?
此時(shí)觀察這兩類(lèi)換元法的定理公式,發(fā)現(xiàn)它們是互相可逆的。
例子
編輯計(jì)算積分
??
。
其中
??
換元為
??
后，
??
亦變?yōu)?/p>
??
，是因?yàn)槠湫问綖槔杪?#xff0d;斯蒂爾杰斯積分，但在黎曼－斯蒂爾杰斯積分中變數(shù)的取值范圍應(yīng)該還是x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的积分公式和常用方法总结的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
- 上一篇： 机器学习实战---读书笔记： 第11章
- 下一篇： eating的中文意思_Eating是什