帕累托最優(yōu)

維基百科：帕累托最優(yōu)是指資源分配的一種理想狀態(tài)。給定固有的一群人和可分配的資源，如果從一種分配狀態(tài)到另一種狀態(tài)的變化中，在沒有使任何人境況變壞的前提下，使得至少一個(gè)人變得更好，這就是帕累托改善。帕累托最優(yōu)的狀態(tài)就是不可能再有更多的帕雷托改善的狀態(tài)；換句話說，不可能在不使任何其他人受損的情況下再改善某些人的境況。

多目標(biāo)優(yōu)化

多目標(biāo)優(yōu)化：此類問題很常見比如在購買汽車時(shí)降低成本，同時(shí)使舒適性最大化；在使車輛的燃料消耗和污染物排放最小化的同時(shí)將性能最大化，同時(shí)他還有一些條件約束。再者金融領(lǐng)域中，我們希望投入的資金少，風(fēng)險(xiǎn)小，并且獲得的利益最大，這就是一個(gè)三目標(biāo)問題，但是掰著腳趾頭都知道同時(shí)達(dá)到這三個(gè)目標(biāo)是不可能的，多目標(biāo)優(yōu)化就是給出他的一些列可能的選擇，然后用戶自己去評判想選誰

多目標(biāo)優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型一般可以寫成如下形式
$$?\begin{array}{rl}V?minf(x)=[f_1(x),f_2(x),...,f_n(x){]}^T& \\ s.t.x\in X& \\ X?R^m& \end{array}$$
$f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)$表示n個(gè)目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)是都使之達(dá)到最小,$X?R^m$是其變量的約束集合，可以理解為變量的取值范圍.

討論幾種重要術(shù)語

1.解A優(yōu)于解B（解A強(qiáng)帕累托支配解B）
假設(shè)現(xiàn)在有兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，解A對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值都比解B對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值好，則稱解A比解B優(yōu)越，也可以叫做解A強(qiáng)帕累托支配解B

2.解A無差別于解B
同樣假設(shè)兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，解A對應(yīng)的一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于解B對應(yīng)的一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，但是解A對應(yīng)的另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值要差于解B對應(yīng)的一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，則稱解A無差別于解B。（A,B兩點(diǎn)嚴(yán)格意義上是非支配關(guān)系）

3.最優(yōu)解
假設(shè)在設(shè)計(jì)空間中，解A對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)越其他任何解，則稱解A為最優(yōu)解。如有一個(gè)x使兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最小，但是前面也說過，實(shí)際生活中這種解是不可能存在的。真要存在就好了，由此提出了帕累托最優(yōu)解。

4.帕累托最優(yōu)解
同樣假設(shè)兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，對于解A而言，在變量空間中找不到其他的解能夠優(yōu)于解A（注意這里的優(yōu)于一定要兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)值都優(yōu)于A對應(yīng)的函數(shù)值），那么解A就是帕累托最優(yōu)解。因此對于多目標(biāo)優(yōu)化問題而言，帕累托最優(yōu)解只是問題的一個(gè)可接受解，一般都存在多個(gè)帕累托最優(yōu)解，這個(gè)時(shí)候就需要人們自己決策了。

5.帕累托最優(yōu)前沿
所有的帕累托最優(yōu)解構(gòu)成帕累托最優(yōu)解集，這些解經(jīng)目標(biāo)函數(shù)映射構(gòu)成了該問題的Pareto最優(yōu)前沿或Pareto前沿面，即帕累托最優(yōu)解對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值就是帕累托最優(yōu)前沿。

對于兩個(gè)目標(biāo)的問題，其Pareto最優(yōu)前沿通常是條線。而對于多個(gè)目標(biāo)，其Pareto最優(yōu)前沿通常是一個(gè)超曲面。

直接上圖，淺顯易懂，對于一個(gè)變量，兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)：

參考文獻(xiàn)

1.帕累托最優(yōu)-----維基百科

2.多目標(biāo)優(yōu)化之帕累托最優(yōu)------黃含馳文章

3.多目標(biāo)規(guī)劃問題的絕對最優(yōu)解、有效解（帕累托最優(yōu)解）和弱有效解（弱帕累托最優(yōu)解）

4.多目標(biāo)優(yōu)化簡述-------C_Meng Github文章

總結(jié)

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