1。多目標優化問題定義

多目標優化是多準則決策的一個領域，它是涉及多個目標函數同時優化的數學問題。多目標優化已經應用于許多科學領域，包括工程、經濟和物流，其中需要在兩個或多個相互沖突的目標之間進行權衡的情況下作出最優決策。分別涉及兩個和三個目標的多目標優化問題的例子有：在購買汽車時降低成本，同時使舒適性最大化；在使車輛的燃料消耗和污染物排放最小化的同時將性能最大化。在實際問題中，甚至可以有三多個目標。
對于非平凡多目標優化問題，不存在同時優化每個目標的單個解決方案。在這種情況下，目標函數被說成是沖突的，并且存在一個（可能無限）數量的帕累托最優解。如果目標函數在值上不能改進而不降低其他一些目標值，則解決方案稱為非支配、Pareto最優、Pareto有效或非劣解。如果沒有額外的主觀偏好信息，所有Pareto最優解都被認為是同樣好的（因為向量不能完全排序）。研究人員從不同的角度研究多目標優化問題，從而在設置和解決多目標優化問題時存在不同的求解哲學和目標。目標可以是找到帕累托最優解的代表性集合，and/or量化滿足不同目標的折衷，and/or找到滿足人類決策者decision maker(DM)的主觀偏好的單一解決方案。

介紹： 多目標優化問題是一個涉及多目標函數的優化問題。在數學術語中，可將多目標優化問題化為：

其中整數K>= 2是目標數，并且集合 X是可行的決策向量集。可行集通常由一些約束函數定義。此外，向量值目標函數通常定義為

帕累托 (Pareto) 前沿（紅色）的例子，帕累托最優解的集合（那些沒有被任何其他可行解支配的）。點C不在帕累托邊界上，因為它由點A和點B共同支配。點A和B不由任何其他點支配，且不互相支配。像A、B這類解就是多目標優化問題的可執行解，也被稱為Pareto最優解。在多目標優化過程中，通常不存在同時最小化所有目標函數的可行解。因此，帕累托最優解；即，在不降低至少一個其他目標的情況下，任何目標都不能改進的解。這些Pareto最優解組成的集合便是最優解集合。

帕累托最優解組成的集合往往是Pareto前沿，也叫Pareto邊界。

?【來源：web； URL：https://en.wikipedia.org/wiki/Multi-objective_optimization 】

2. 發展歷史

描述

理性的人們試圖在一組可能的選擇中做出“最優”的決定。然而實際上，“最優”這個名詞在不同的領域中被賦予不同意義。在經濟學中，“最優”指買方和賣方（微觀經濟學）或政府（宏觀經濟學），同時優化或平衡若干標準的決策。稅收就是一個很好的例子。一個最佳的，平均的稅收水平（每美元的經濟活動）最大限度地提高了可用于公共利益的收入，同時保持了足夠的激勵，個人從自己的工作中賺取收入。第一個考慮這種權衡的人是F. Y Edgeworth。

1881年，在倫敦國王學院（King's College）和之后是在牛津大學（Oxford）的經濟學教授 F.Y.Edgeworth 是第一個為多準則經濟決策制定最佳方案的人（Edgeworth 1881）。他在兩個假設的消費者準則P和π的背景下針對多效用問題做了這樣定義：“需要找到一個點（x，y），這樣無論我們朝哪個方向邁出無窮小的一步，P和π不會一起增加，而是一個增加，另一個減少。

1893年，帕雷托成為瑞士洛桑大學政治經濟學的主席，在那里他創立了兩個最著名的理論：精英的流通和帕雷托最優（Circulation of the Elites and The Pareto Optimum）。雖然第一種觀點至今仍存在爭議，但第二種觀點已得到廣泛接受(Pareto 1906)：“只要能夠使至少一個人在他自己的估計中過得更好，社會資源的最佳分配就不可能實現。像以前一樣保持別人的自我評價。

另一個活動和進展的熱點是日本，特別是在多目標優化的理論方面（Sawaragi，Nakayama和Tanino，1985）。 在過去的三十年中，多目標優化的應用在工程和設計的許多領域中穩步增長。 互聯網的出現以及關于該主題的一些重點會議也促成了多目標優化的研究人員和從業者社區的形成。 該領域的一個特別值得注意的資源是由（Coello-Coello 2004）創建和維護的網站。

各種多目標優化算法也是應運而生，Scalarization Methods （如，Andersson 2001）；Pareto Methods；Hybrid methods（Miettinen, K，2008）。

多目標優化算法歸結起來有傳統優化算法和智能優化算法兩大類。

傳統優化算法包括加權法、約束法和線性規劃法等，實質上就是將多目標函數轉化為單目標函數，通過采用單目標優化的方法達到對多目標函數的求解。?

智能優化算法包括進化算法（Evolutionary Algorithm, 簡稱EA）、粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）等。

從九十年代初開始，進化算法系列算法被統一，如遺傳算法（GA）等。進化算法的應用范圍很廣。

2002年，Deb, K., Pratap, A., Agarwal, S., & Meyarivan, T. A. M. T應用遺傳算法來解決多目標優化問題。優化問題也是進化算法最擅長解的問題之一。

2009年，Liang等學者針對PSO算法應用在多模態問題（multimodal problem）時容易陷入局部最優解的問題，提出了CLPSO（comprehensive learning particle swarm optimizer）算法來防止算法過早收斂（pre-convergence）。
【Evolutionary computation/algorithm - Yuanyuan LI】https://www.jiqizhixin.com/graph/technologies/fd0fb517-7786-4fe0-99d3-170d849cdf12

2018年，在NIPS上的《Multi-task learning as multi-objective optimization》明確將多任務學習視為多目標優化問題，以尋求帕累托最優解。Sener, O., & Koltun, V.提出的方法可以在現實假設下得到帕累托最優解。

【出處：paper，http://strategic.mit.edu/docs/3_46_CJK-OSM3-Keynote.pdf? 】

主要事件

年份	事件	相關論文
1906	Pareto提出核心思想	Pareto, V. (1906). Manuale di economia politica (Vol. 13). Societa Editrice.
1979	Stadler, W. 對帕累托最優進一步回顧	Stadler, W. (1979). A survey of multicriteria optimization or the vector maximum problem, part I: 1776–1960. Journal of Optimization Theory and Applications, 29(1), 1-52.
2008	Miettinen, K.提出一種混合方法解決多目標問題	Miettinen, K., Ruiz, F., & Wierzbicki, A. P. (2008). Introduction to multiobjective optimization: interactive approaches. In Multiobjective Optimization (pp. 27-57). Springer, Berlin, Heidelberg.
2014	Deb, K.對多目標優化進行回顧	Deb, K. (2014). Multi-objective optimization. In Search methodologies (pp. 403-449). Springer, Boston, MA.
2018	Sener, O., & Koltun, V.提出多任務學習來作為多目標優化的策略	Sener, O., & Koltun, V. (2018). Multi-task learning as multi-objective optimization. In Advances in Neural Information Processing Systems (pp. 524-535).

3. 發展分析

瓶頸

多目標優化算法相對成熟，在不同的問題使用不同的優化算法。NSGA-II, SPEA 或者 MOPSO都是可選項，而到底選擇哪一個方法，還需要根據特定的情景選擇。

盡管多目標優化算法應用于動態的制造系統（Dynamic Manufacturing Systems），但是制造系統的復雜特性，使得算法仍然需要完善。

未來發展方向

1.因為多種多目標方法已經被提出，混合方法 hybrid method可以被進一步發展。

2. 現在的動態制造系統中的多目標優化算法需要動態調度的能力

【 https://ieeexplore.ieee.org/document/4667864? 】

總結

以上是生活随笔為你收集整理的多目标优化问题及求解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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