經(jīng)濟增長

第二章：索洛模型

基本的索羅模型

模型的假設(shè)

• 經(jīng)濟體所生產(chǎn)消費的只有一種產(chǎn)品
  • 沒有貿(mào)易
• 技術(shù)是外生變量
  • 公司的可用技術(shù)不受公司研發(fā)等行為影響
• 個人儲蓄之占收入的一小部分

模型的建立

生產(chǎn)

$$Y=F(K,L)=K^{\alpha }{L}^{1?\alpha }$$
規(guī)模收益不變

廠商

利潤
$$\pi =K^{\alpha }{L}^{1?\alpha }?rK?wL$$
(r:利率、w:工資率)
公司利潤最大化的一階條件：
$$\frac{?\pi }{?L}=(1?\alpha )K^{\alpha }{L}^{?\alpha }?w=(1?\alpha )\frac{Y}{L}?w=0$$
$$\frac{?\pi }{?K}=\alpha K^{\alpha }{L}^{?\alpha }?r=\alpha \frac{Y}{K}?r=0$$

要素

因為
$$wL+rK=(1?\alpha )\frac{Y}{L}L+\alpha \frac{Y}{K}K=Y$$
所以
$$\pi =Y?rK?wK=0$$

要素權(quán)重

$$\frac{wL}{Y}=(1?\alpha )\frac{Y}{L}\frac{L}{Y}=1?\alpha$$
$$\frac{rK}{Y}=\alpha \frac{Y}{K}\frac{K}{Y}=\alpha$$

勞均產(chǎn)出

$$y=\frac{Y}{L}=\frac{K^{\alpha }{L}^{(1?\alpha )}}{L}=\frac{K^{\alpha }}{L^{\alpha }}=k^{\alpha }$$

資本積累

$$\dot{K}=sY?\delta K$$

?𝑠𝑌：總投資。總收入（𝑤𝐿+𝑟𝐾）等于總產(chǎn)出（𝑌）。我們假設(shè)工作和擁有資本的人們從他們的收入中存一小部分的錢0<𝑠<1。

?𝛿𝐾：折舊。現(xiàn)有資本的固定部分，0<𝛿<1.
資本增長率
$$\frac{\dot{K}}{K}=s\frac{Y}{K}?\delta$$

勞均資本

$$k=\frac{K}{L}$$
取對數(shù)求導(dǎo)得
$$\frac{\dot{k}}{k}=\frac{\dot{K}}{K}?\frac{\dot{L}}{L}=s\frac{Y}{K}?\delta ?\frac{\dot{L}}{L}$$

人口增長

$$L(t)=L(0)e^{nt}$$
對數(shù)求導(dǎo)
$$\frac{\dot{L}}{L}=n$$

索洛方程式

$$\frac{\dot{k}}{k}=s\frac{Y/L}{K/L}?\delta ?n=s\frac{y}{k}?\delta ?n$$
所以
$$\dot{k}=s{k}^{\alpha }?(\delta +n)k$$
這通常被稱為資本積累方程。

模型的求解

將內(nèi)生變量用外生變量來表示

索洛圖

$$\dot{k}=sy?(n+\delta )k$$

兩條曲線的差額表示勞均資本的變化。該變化為正時，勞均資本增加，發(fā)生了資本深化，該變化為零時，實際資本存量還在增長，僅僅發(fā)生了資本擴張。

穩(wěn)態(tài)的性質(zhì)

穩(wěn)態(tài)時，解得 $k^{?}={\frac{s}{n+\delta }}^{1/(1?\alpha )}$
所以 $y^{?}={\frac{s}{n+\delta }}^{\alpha /(1?\alpha )}$

經(jīng)濟增長

將資本積累方程兩邊同時除以k，得到

$$\frac{\dot{k}}{k}=s{k}^{\alpha ?1}?(n?\delta )$$

兩條線之間的差距就是資本存量的增長率*$\frac{\dot{k}}{k}$* .

技術(shù)與索洛模型

模型的求解

為了產(chǎn)生人均收入的可持續(xù)增長，將技術(shù)進(jìn)步引入到模型中來。設(shè)技術(shù)變量為A（勞動增強型技術(shù)進(jìn)步），那么

$$Y=F(K,AL)=K^{\alpha }(AL{)}^{1?\alpha }$$

假設(shè)A的增長率為常數(shù)：$\frac{\dot{A}}{A}=g?A=A_0{e}^{gt}$

資本積累方程與前面一致：$\frac{\dot{K}}{K}=s\frac{Y}{K}?\delta$

生產(chǎn)函數(shù) $y=k^{\alpha }{A}^{1?\alpha }$ 取對數(shù)求導(dǎo) $\frac{\dot{y}}{y}=a\frac{\dot{k}}{k}+(1?\alpha )\frac{\dot{A}}{A}$

事實表明，$\frac{\dot{y}}{y}$為常數(shù)，那么$g_y=g_k=g$

也就是說，在索洛模型的均衡增長路徑中，勞均產(chǎn)出和勞均資本都是按照外生的技術(shù)變化率g增長的。在簡化的索洛模型中不存在技術(shù)進(jìn)步，因此也就沒有勞均產(chǎn)出和勞均資本的長期增長。

帶技術(shù)的索洛圖

引入新的狀態(tài)變量：$\tilde{k}=K/AL=k/A$

因為k和A的增長率相同，所以它是個常數(shù)。

產(chǎn)出—技術(shù)比 $\tilde{y}=Y/AL=y/A={\tilde{k}}^{\alpha }$

$$\tilde{k}=\frac{K}{AL}?\frac{\dot{\tilde{k}}}{\tilde{k}}=\frac{K}{K}?\frac{\dot{A}}{A}?\frac{\dot{L}}{L}$$

而$\frac{\dot{K}}{K}=s\frac{Y/AL}{K/AL}?\delta =s\frac{\tilde{y}}{\tilde{k}}?\delta$，所以 $\frac{\tilde{k}}{k}=s\frac{\tilde{y}}{\tilde{k}}?\delta ?g?n$

即$\dot{\tilde{k}}=s\tilde{y}?(n+g+\delta )k$

求解穩(wěn)態(tài)

當(dāng)$\dot{\tilde{k}}=0$時，$\tilde{k}=(\frac{s}{n+g+\delta }{)}^{1/(1?\alpha )}$ $\tilde{y}=(\frac{s}{n+g+\delta }{)}^{\alpha /(1?\alpha )}$

將方程改寫為 $y^{?}(t)=A(t)(\frac{s}{n+g+\delta }{)}^{\alpha /(1?\alpha )}$

可以看到，均衡增長路徑上的勞均產(chǎn)出是由技術(shù)、投資率和人口增長率決定的。投資率或人口增長率的 變化影響勞均產(chǎn)出的長期水平，但不影響勞均產(chǎn)出的長期增長率。為了更清楚地看到這一點，我們來考慮一個簡單的例子。

提高投資率

$\frac{\dot{\tilde{k}}}{k}=s\frac{\tilde{y}}{\tilde{k}}?(\delta +g+n)$ $\frac{\dot{y}}{y}=\alpha \frac{\dot{k}}{k}+(1?\alpha )\frac{\dot{A}}{A}$

• 政策的變化并沒有長期的增長效應(yīng)，索洛模型中政策的變化提高了增長率，但是只是短暫的沿著路徑抵達(dá)新的穩(wěn)態(tài)。
• 政策的變化有水平效應(yīng)，一個永久性的政策能夠永久性地提高或降低人均產(chǎn)出的水平。

模型的評估

我們來看一下索洛模型是如何回答經(jīng)濟增長中的關(guān)鍵問題：

$Q1$:為什么我們?nèi)绱烁挥卸麄內(nèi)绱素毟F？

$A1$:投資多，人口增長率低，勞均資本高，提高了勞動生產(chǎn)率

$Q2$:為什么經(jīng)濟呈現(xiàn)出持續(xù)增長？

$A2$:技術(shù)進(jìn)步（抵消了資本邊際產(chǎn)出下降的趨勢）

$Q3$:為什么不同國家間的增長率是不同的？

$A3$:從他們的長期增長率來看，轉(zhuǎn)型動力使各國以不同的速度增長

增長核算

將產(chǎn)出的增長分為資本的增長、勞動的增長和技術(shù)的增長

假設(shè)增長函數(shù)$Y=B{K}^{\alpha }{L}^{1?\alpha }$ 那么$\frac{\dot{Y}}{Y}=\frac{\dot{B}}{B}+\frac{\dot{K}}{K}+(1?\alpha )\frac{\dot{L}}{L}$

$\frac{\dot{B}}{B}$通常被稱為全要素生產(chǎn)率

勞均產(chǎn)出的增長率：$y=B{k}^{\alpha }$ $\frac{\dot{y}}{y}=\frac{\dot{B}}{B}+\alpha \frac{\dot{k}}{k}$

勞均產(chǎn)出的增長率被分為勞均物質(zhì)資本的貢獻(xiàn)和全要素生產(chǎn)率增長的貢獻(xiàn)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的经济增长（二）索洛模型的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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