目錄

簡介

一、基本概念

1.1 排隊(duì)過程的一般表示

1.2 排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征

1.2.1 輸入過程

1.2.2 排隊(duì)規(guī)則

1.2.3 服務(wù)過程

1.3 排隊(duì)模型的符號表示

1.4 排隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)

二、 輸入過程與服務(wù)時(shí)間的分布

2.1 泊松流與指數(shù)分布

2.2 常用的幾種概率分布

2.2.1 連續(xù)型隨機(jī)變量分布

2.2.2 離散型隨機(jī)變量分布

三、 生滅過程

四、 M/M/s 等待制排隊(duì)模型

4.1 但服務(wù)臺模型

4.1.1 隊(duì)長的分布

4.1.2 幾個(gè)主要數(shù)量指標(biāo)

4.1.3 忙期和閑期

4.3 多服務(wù)臺模型（?編輯）

十、 排隊(duì)模型的計(jì)算機(jī)模擬

10.1 確定隨機(jī)變量概率分布的常用方法

10.2 計(jì)算機(jī)模擬

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簡介

排隊(duì)論起源于1909年丹麥電話工程師A.K.愛爾朗的工作，他對電話通過擁擠問題進(jìn)行了研究。1917年，愛爾朗發(fā)表了他的著名文章——“自動(dòng)電話交換中的概率論的幾個(gè)問題的解決”。排隊(duì)論已廣泛應(yīng)用于軍事、運(yùn)輸、維修、生產(chǎn)、服務(wù)、庫存、醫(yī)療衛(wèi)生、教育、水利灌溉之類的問題，顯示了強(qiáng)大的生命力。

排隊(duì)是在日常生活中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象，如顧客到商店購買物品、病人到醫(yī)院看病常需要排隊(duì)。此時(shí)要求服務(wù)的數(shù)量超過服務(wù)機(jī)構(gòu)（服務(wù)臺，服務(wù)員等）的容量。也就是說，到達(dá)的顧客不能立即得到服務(wù)，因而出現(xiàn)了排隊(duì)現(xiàn)象。這種現(xiàn)象不僅在個(gè)人日常生活中出現(xiàn)，電話局的占線問題，車站、碼頭等交通樞紐的車船堵塞喝疏導(dǎo)，故障機(jī)器的停機(jī)維修，水庫的存貯調(diào)節(jié)等，都是有形或無形的排隊(duì)現(xiàn)象。由于顧客到達(dá)喝服務(wù)時(shí)間的隨機(jī)性。可以說排隊(duì)現(xiàn)象幾乎是不可避免的。

排隊(duì)論也成為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，就是為解決上述問題而發(fā)展的一門學(xué)科。它研究的內(nèi)容有下列三部分：

• 性態(tài)問題，即研究各種排隊(duì)系統(tǒng)的概率規(guī)律性，主要是研究隊(duì)長分布、等待時(shí)間分布和忙期分布，包括了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩種情形。
• 最優(yōu)化問題，又分靜態(tài)最優(yōu)和動(dòng)態(tài)最優(yōu)，前者指最優(yōu)設(shè)計(jì)，后者指現(xiàn)有排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)運(yùn)營。
• 排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷，即判斷一個(gè)給定的排隊(duì)系統(tǒng)符合與哪種模型，以便根據(jù)排隊(duì)理論進(jìn)行分析研究。

這里將介紹排隊(duì)論的一些基本知識，分析幾個(gè)常見的排隊(duì)模型。

一、基本概念

1.1 排隊(duì)過程的一般表示

?虛線包含的部分為排隊(duì)系統(tǒng)。

凡要求服務(wù)的對象統(tǒng)稱為顧客，為顧客服務(wù)的人或物稱為服務(wù)員，由顧客和服務(wù)員組成服務(wù)系統(tǒng)。

服務(wù)機(jī)構(gòu)過小，一直不能滿足要求服務(wù)的顧客的需求；服務(wù)機(jī)構(gòu)過大，相應(yīng)消耗的財(cái)力和物力也增加。因此研究排隊(duì)模型的目的就是要在顧客需要和服務(wù)機(jī)構(gòu)的規(guī)模之間進(jìn)行權(quán)衡決策，使其達(dá)到合理的平衡。

1.2 排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征

一般的排隊(duì)過程都由輸入過程、排隊(duì)規(guī)則、服務(wù)過程三部分組成。

1.2.1 輸入過程

輸入過程是指顧客到來實(shí)踐的規(guī)律性，可能有以下幾種情況：

• 顧客源是有限還是無限
• 顧客是逐個(gè)到達(dá)還是成批到達(dá)
• 顧客達(dá)到是相互獨(dú)立還是相互影響
• 輸入過程是平穩(wěn)還是非平穩(wěn)。平穩(wěn)輸入過程即顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔分布，及其數(shù)學(xué)期望、方差等數(shù)字特征都與時(shí)間無關(guān)。

1.2.2 排隊(duì)規(guī)則

排隊(duì)規(guī)則指到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的顧客按怎樣的規(guī)則排隊(duì)，可分為損失制，等待制和混合制三種。

• 損失制。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，所有的服務(wù)臺均被占用，顧客離去。
• 等待制。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，所有的服務(wù)臺均被占用，顧客排隊(duì)等待知道接受完服務(wù)。
• 混合制。介于損失制和等待制兩者之間。

1.2.3 服務(wù)過程

服務(wù)機(jī)構(gòu)，單服務(wù)臺；多服務(wù)臺并聯(lián)，多服務(wù)臺串聯(lián)；混合型。

服務(wù)規(guī)則：

• 先到先服務(wù)，FCFS
• 后到先服務(wù)，LCFS
• 隨即服務(wù)，RAND
• 優(yōu)先服務(wù)，PR

1.3 排隊(duì)模型的符號表示

排隊(duì)模型的一般表示方法，

• X代表顧客到達(dá)流或者顧客到達(dá)時(shí)間間隔的分布
  • -(Markov)指數(shù)分布
  • -確定型分布
  • -k階愛爾朗Erlang分布
  • G-一般服務(wù)時(shí)間分布
  • GI-一般相互獨(dú)立的時(shí)間間隔分布
• Y代表服務(wù)時(shí)間的分布
  • 表示的字母所代表的分布與X相同
• Z代表服務(wù)臺數(shù)目
• A代表系統(tǒng)容量限制
• B代表顧客源數(shù)目
• C代表服務(wù)規(guī)則

1.4 排隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)

平均隊(duì)長：指系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù)（包括正在被服務(wù)以及正在排隊(duì)的顧客）

平均排隊(duì)長：只指系統(tǒng)內(nèi)正在排隊(duì)的顧客數(shù)

平均逗留時(shí)間：指顧客從進(jìn)入排隊(duì)系統(tǒng)到離開排隊(duì)系統(tǒng)的時(shí)間，包括排隊(duì)時(shí)間和被服務(wù)時(shí)間

平均等待時(shí)間：指顧客排隊(duì)的時(shí)間

平均忙期：指顧客到達(dá)空閑機(jī)構(gòu)起，到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次空閑的時(shí)間間隔長度的數(shù)學(xué)期望。

計(jì)算這些指標(biāo)的基礎(chǔ)是表達(dá)系統(tǒng)狀態(tài)的概率，所謂系統(tǒng)的狀態(tài)即指系統(tǒng)中顧客數(shù)。如果系統(tǒng)中有n個(gè)顧客就說系統(tǒng)的狀態(tài)是n，它有如下幾種表示方法及其代表含義：

• 隊(duì)長沒有限制。
• ，隊(duì)長有限制，且最大數(shù)為N。
• ，損失制且服務(wù)臺個(gè)數(shù)為c時(shí)。

需注意排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)是時(shí)間t的函數(shù)，所以在時(shí)刻t、系統(tǒng)狀態(tài)為n的概率用表示。穩(wěn)態(tài)，即與不隨時(shí)間t改變時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)記為

二、 輸入過程與服務(wù)時(shí)間的分布

排隊(duì)系統(tǒng)中的事件流包括顧客到達(dá)流和服務(wù)時(shí)間流，由于顧客到達(dá)的間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間不可能是負(fù)值，因此分布是非負(fù)隨機(jī)變量的分布。常用的分布有泊松分布，確定型分布，指數(shù)分布和愛爾朗分布。

2.1 泊松流與指數(shù)分布

輸入過程是泊松流時(shí)，顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔T必服從指數(shù)分布。詳細(xì)推到略去。

2.2 常用的幾種概率分布

2.2.1 連續(xù)型隨機(jī)變量分布

• 均勻分布
• 正態(tài)分布
• 指數(shù)分布
• Gamma分布
• Weibull分布
• Beta分布

2.2.2 離散型隨機(jī)變量分布

• 均勻分布
• Bernoulli分布
• Poisson分布
• 二項(xiàng)分布

三、 生滅過程

一類非常重要且廣泛存在的排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)生滅過程排隊(duì)系統(tǒng)。生滅過程是一類特殊的隨機(jī)過程，在生物學(xué)、物理學(xué)、運(yùn)籌學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。在排隊(duì)論中，如果表示在t時(shí)刻，系統(tǒng)中的顧客數(shù)，則就構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)過程。如果用”生“代表示顧客的到來，”滅“表示顧客的離去。則對于許多排隊(duì)過程來說，就是一類特殊的隨機(jī)過程——生滅過程。

設(shè)為一個(gè)隨機(jī)過程。若的概率分布具有以下性質(zhì)：

• 假設(shè)，則從時(shí)刻t起到下一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)刻止的時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，n=0,1,2...
• 假設(shè)，則從時(shí)刻t起到下一個(gè)顧客離去時(shí)刻止的時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，n=0,1,2,...
• 同一時(shí)刻只有一個(gè)顧客到達(dá)或離去。

則稱為生滅過程。

四、 M/M/s 等待制排隊(duì)模型

4.1 但服務(wù)臺模型

表示顧客相機(jī)到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時(shí)間V服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)空間無限，允許無限排隊(duì)，這是一類最簡單的排隊(duì)系統(tǒng)。

4.1.1 隊(duì)長的分布

記為系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)后隊(duì)長的概率分布。記，并設(shè)其小于1（否則隊(duì)長無窮）。則隊(duì)長分布為

數(shù)據(jù)量是服務(wù)系統(tǒng)中至少有一個(gè)顧客的概率，也就是服務(wù)臺處于忙的狀態(tài)的概率，因而

也稱為服務(wù)強(qiáng)度，反映了系統(tǒng)繁忙的程度。?

4.1.2 幾個(gè)主要數(shù)量指標(biāo)

由于隊(duì)長的概率分布已知，可以計(jì)算出該模型中的其他運(yùn)行指標(biāo)

平均隊(duì)長

平均排隊(duì)長

平均逗留時(shí)間

平均等待時(shí)間

顯然有，

4.1.3 忙期和閑期

平均忙期

平均閑期

4.3 多服務(wù)臺模型（）

設(shè)顧客單個(gè)到達(dá)，相機(jī)達(dá)到時(shí)間間隔服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)中有s個(gè)服務(wù)臺，每個(gè)服務(wù)臺的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。且為等待制，隊(duì)長無限長，等待時(shí)間無限。

記為系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)后，隊(duì)長N的概率分布。

則隊(duì)長的分布為，其中，，稱為多服務(wù)臺系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度。

對于多服務(wù)臺系統(tǒng)，記為在系統(tǒng)顧客達(dá)到系統(tǒng)時(shí)需要等待的概率。

平均排隊(duì)長

平均隊(duì)長

平均逗留時(shí)間

平均排隊(duì)時(shí)間

十、 排隊(duì)模型的計(jì)算機(jī)模擬

10.1 確定隨機(jī)變量概率分布的常用方法

根據(jù)一般知識和經(jīng)驗(yàn)，假定概率分布的形式，然后由實(shí)際數(shù)據(jù)估計(jì)分布的參數(shù)。

直接由大量的實(shí)際數(shù)據(jù)作直方圖，得到經(jīng)驗(yàn)分布，再通過假設(shè)檢驗(yàn)，擬合分布函數(shù)。

確實(shí)先驗(yàn)知識以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，對于區(qū)間內(nèi)變化的隨機(jī)變量，可選用beta分布和均勻分布。現(xiàn)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定隨機(jī)變量的均值和頻率最高的數(shù)值，則beta分布最終端參數(shù)

10.2 計(jì)算機(jī)模擬

當(dāng)排隊(duì)系統(tǒng)的到達(dá)間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的概率分布很復(fù)雜時(shí)，就需要使用隨機(jī)模擬法求解。

隨機(jī)模擬法要求事件能夠按歷史的概率分布規(guī)律出現(xiàn)。

?設(shè)a1表示生成的隨機(jī)數(shù)，a2表示到達(dá)的車輛，a3表示需要卸貨的車數(shù)，a4表示實(shí)際卸貨車數(shù)，a5表示推遲卸貨車數(shù)。

n=50000; %模擬50000天 m=2; a1=rand(n,1); %% 模擬實(shí)際達(dá)到的車數(shù) a2=a1; a2(find(a1<0.23))=0; a2(find(a1>=0.2&&a1<0.53))=1; a2(find(a1>=0.53&&a1<0.83))=2; a2(find(a1>=0.83&&a1<0.93))=3; a2(find(a1>=0.93&&a1<0.98))=4; a2(find(a1>=0.98))=5;%% 模擬卸貨車數(shù) a3=zeros(n,1); a4=a3; a5=a3; a3(1)=a2(1); if a3(1)<=ma4(1)=a3(1);a5(1)=0; else a4(1)=m;a5(1)=a2(1)-m; end for i=2:na3(i)=a2(i)+a5(i-1);if a3(i)<=ma4(i)=a3(i);a5(i)=0;elsea4(i)=m;a5(i)=a3(i)-m;end end %%求平均 a=[a1 a2 a3 a4 a5]; sum(a)/n;

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的排队论（Queuing Theory）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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