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• 泊松流
• 系統運行指標
• 單服務臺系統
• 多服務臺系統

排隊論（Queuing Theory）也稱隨機服務系統理論。
本文主要討論先到先服務 FCFS的情形，顧客流設定為泊松流（一種非負隨機變量的分布）

泊松流

在不相互重疊的時間區間內，到達顧客數相互獨立(無后效性)。

對于充分小的時間間隔內，到達1個顧客的概率與t無關，僅與時間間隔成正比(平穩性)。

對于充分小的時間間隔，2個及以上顧客到達的概率可忽略不計(普通性)。

泊松流到達間隔服從負指數分布。

系統運行指標

為了研究排隊系統運行的效率，估計其服務質量，確定系統的優參數，評價系統 的結構是否合理并研究其改進的措施，必須確定用以判斷系統運行優劣的基本數量指標，這些數量指標通常是：

平均隊長：指系統內顧客數（包括正被服務的顧客與排隊等待服務的顧客）的數學期望，記作$L_s$ 。

平均排隊長:指系統內等待服務的顧客數的數學期望，記作 $L_q$ 。

平均逗留時間：顧客在系統內逗留時間（包括排隊等待的時間和接受服務的時間）的數學期望，記作$W_s$ 。

平均等待時間：指一個顧客在排隊系統中排隊等待時間的數學期望，記作$W_q$ 。

平均忙期：指服務機構連續繁忙時間（顧客到達空閑服務機構起，到服務機構再次空閑止的時間）長度的數學期望，記為 $T_b$。

單服務臺系統

模型的條件是：

輸入過程――顧客源是無限的，顧客到達完全是隨機的，單個到來，到達過程服從泊松分布，且是平穩的。

排隊規則――單隊，且隊長沒有限制，先到先服務；

服務機構――單服務臺，服務時間的長短是隨機的，服從相同的指數分布。

clear clc %***************************************** %初始化顧客源 %***************************************** %總仿真時間 Total_time = 10; %隊列最大長度 N = 10000000000; %到達率與服務率 lambda = 10; mu = 6; %平均到達時間與平均服務時間 arr_mean = 1/lambda; ser_mean = 1/mu; arr_num = round(Total_time*lambda*2); events = []; %按負指數分布產生各顧客達到時間間隔 events(1,:) = exprnd(arr_mean,1,arr_num); %各顧客的到達時刻等于時間間隔的累積和 events(1,:) = cumsum(events(1,:)); %按負指數分布產生各顧客服務時間 events(2,:) = exprnd(ser_mean,1,arr_num); %計算仿真顧客個數，即到達時刻在仿真時間內的顧客數 len_sim = sum(events(1,:)<= Total_time); %***************************************** %計算第 1個顧客的信息 %***************************************** %第 1個顧客進入系統后直接接受服務，無需等待 events(3,1) = 0; %其離開時刻等于其到達時刻與服務時間之和 events(4,1) = events(1,1)+events(2,1); %其肯定被系統接納，此時系統內共有 %1個顧客，故標志位置1 events(5,1) = 1; %其進入系統后，系統內已有成員序號為 1 member = [1]; for i = 2:arr_num %如果第 i個顧客的到達時間超過了仿真時間，則跳出循環 if events(1,i)>Total_time break; else number = sum(events(4,member) > events(1,i)); %如果系統已滿，則系統拒絕第 i個顧客，其標志位置 0 if number >= N+1 events(5,i) = 0; %如果系統為空，則第 i個顧客直接接受服務 else if number == 0 %其等待時間為 0events(3,i) = 0; %其離開時刻等于到達時刻與服務時間之和 events(4,i) = events(1,i)+events(2,i); %其標志位置 1 events(5,i) = 1; member = [member,i]; %如果系統有顧客正在接受服務，且系統等待隊列未滿，則 第 i個顧客進入系統 else len_mem = length(member); %其等待時間等于隊列中前一個顧客的離開時刻減去其到 達時刻 events(3,i)=events(4,member(len_mem))-events(1,i); %其離開時刻等于隊列中前一個顧客的離開時刻加上其服 %務時間 events(4,i)=events(4,member(len_mem))+events(2,i); %標識位表示其進入系統后，系統內共有的顧客數 events(5,i) = number+1; member = [member,i]; end end end end %仿真結束時，進入系統的總顧客數 len_mem = length(member); %***************************************** %輸出結果 %***************************************** %繪制在仿真時間內，進入系統的所有顧客的到達時刻和離開時刻曲線圖（stairs：繪制二維階梯圖） stairs([0 events(1,member)],0:len_mem); hold on; stairs([0 events(4,member)],0:len_mem,'.-r'); legend('到達時間 ','離開時間 '); hold off; grid on; %繪制在仿真時間內，進入系統的所有顧客的停留時間和等 %待時間曲線圖（plot：繪制二維線性圖） figure; plot(1:len_mem,events(3,member),'r-*',1: len_mem,events(2,member)+events(3,member),'k-'); legend('等待時間 ','停留時間 '); grid on;

多服務臺系統

此模型與M/M/1模型不同之處在于有S個服務臺，各服務臺的工作相互獨立，服務率相等，如果顧客到達時，S個服務臺都忙著，則排成一隊等待，先到先服務的單隊模型。

% 多服務臺模型 % 設顧客單個到達，相繼到達時間間隔服從參數為λ 的負指數分布 % 每個服務臺的服務時間相互獨立，且服從參數為 μ 的負指數分布s=2; % 服務臺數目 mu=4; lambda=3; ro=lambda/mu; ros=ro/s; sum1=0;for i=0:(s-1)sum1=sum1+ro.^i/factorial(i); endsum2=ro.^s/factorial(s)/(1-ros);p0=1/(sum1+sum2); p=ro.^s.*p0/factorial(s)/(1-ros); Lq=p.*ros/(1-ros); L=Lq+ro; W=L/lambda; Wq=Lq/lambda;fprintf('排隊等待的平均人數為%5.2f人\n',Lq) fprintf('系統內的平均人數為%5.2f人\n',L) fprintf('平均逗留時間為%5.2f分鐘\n',W*60) fprintf('平均等待時間為%5.2f分種\n',Wq*60)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的排队论及其代码的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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