矩陣

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行階梯矩陣的定義
1. 全0行的上面都是非0行
2. 非0行的首個非0元一定比上一行的首個非0元更靠右
3. 左上角的元素所在列其他元素皆為0

行最簡矩陣的定義
1. 非0行首非0元一定比上一行的首非0元更靠右
2. 每個非0行的首元都是1
3. 非0行首元所在列其他元素都為0

矩陣的運算
1. 加法，同型矩陣各個對應元素相加
2. 數乘，矩陣各個元素X一個數
3. 乘法，MxN x NxO 的矩陣得到MxO的矩陣，(a_ij) * (b_jk)=(c_ik), 其中c_ik=Σ_n=1-j a_in * b_nk
4.分塊，一個矩陣可以用水平或垂直的線分成數塊，這些塊的運算規則和矩陣的元素相同
5. 3種初等變換：數乘某一行（列）； 對調某兩行（列）； 某行+=另一行的數乘（列）。 經過行初等變換可以得到行階梯和行最簡，可以用(A|E)變換到(E|A^-1)從而求A的逆，也可以用(A|B)變換到(E|X)求矩陣方程AX=B的解

矩陣的秩
行階梯的非0行數=R(A)，稱R(A)為矩陣的秩。矩陣方程B=AX有解的充要條件是R(A)=R(A|B)

矩陣的性質

0<=R(A)_mxn<=min[m,n], 矩陣的秩小于行列的最小值

R(A)=R(A^T), 矩陣轉置秩不變

A~B = R(A)=R(B), 等價矩陣的秩相等

R(PAQ)=R(A), ((|P|*|Q|)!=0), 初等變換不改變矩陣的秩

max[R(A), R(B)]<=R(A|B)<=R(A)+R(B), 塊秩的最大值<=分塊陣的秩<=塊陣秩的和

R(A+B)<=R(A)+R(B), 和的秩<=秩的和

R(AB)<=min(R(A), R(B)), 積的秩<=乘陣的秩

A_mxn * B _nxp = O, R(A)+R(B)<=N: 0陣的乘陣的秩的和<=左陣的列=右陣的行

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵的运算和矩阵的秩的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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