學習來源：《矩陣分析與應用》?張賢達 清華大學出版社

奇異值分解

一、矩陣奇異值與矩陣的關系

????????矩陣的奇異值與矩陣的范數、行列式、條件數、特征值等有密切關系。

1. 奇異值與范數的關系

????????矩陣??的譜范數等于??的最大奇異值，即

根據矩陣的奇異值分解定理，由于矩陣??的 Frobenius 范數??是酉不變的，即

因此，有

也就是說，任何一個矩陣的?Frobenius 范數等于該矩陣所有非零奇異值平方和的正平方根。

2. 奇異值與行列式的關系

????????設??是??正方矩陣。由于酉矩陣的行列式的絕對值為 1 ，所以有

當所有的??都不為零，則??是非奇異的；當存在??為零時，則??是奇異的。

????????對于一個??矩陣??，以下不等式均成立：

3. 奇異值與條件數的關系

????????對于一個??矩陣??，其條件數可以利用奇異值定義為

因為 ?，所以條件數是一個大于或等于 1 的正數。對于一個奇異矩陣來說，由于至少有一個奇異值??，因此奇異矩陣的條件數為無窮大；當一個矩陣? 的條件數不是無窮大但很大時，稱矩陣??是接近奇異的。它的意思是，當矩陣 ?的條件數很大時，矩陣??的行向量或列向量的線性相關性很強。

????????對于方程??，?的奇異值分解為

即矩陣??的最大和最小奇異值分別是矩陣??的最大和最小奇異值的平方，所以

也就是說，矩陣??的條件數是矩陣??的條件數的平方。

4. 奇異值與特征值的關系

????????設??正方對稱矩陣??的特征值為??，奇異值為?，則?

二、奇異值的性質匯總

1. 奇異值服從的等式關系

1）矩陣??和其復共軛轉置矩陣??具有相同的奇異值。

2）矩陣??的非零奇異值是??或??的非零特征值的正平方根。

3）?是矩陣矩陣??的單奇異值，當且僅當??是??或??的單特征值。

4）若??，且??是矩陣??的奇異值，則

5）矩陣行列式的絕對值等于矩陣奇異值的乘積，即

6）矩陣??的譜范數等于??的最大奇異值，即??。

7）若 ，則對于矩陣? ，有

8）若? ，則對于矩陣? ，有

9）若? 矩陣? 非奇異，則

10）若? 是? 矩陣? 的奇異值分解，則? 的 Moose-Penrose 逆矩陣

11）若? 是? 矩陣? 的非零奇異值（其中，??），則矩陣? 具有? 個非零奇異值? 和? 個零奇異值。

2. 奇異值服從的不等式關系

1）若? 和? 是? 矩陣，則對于? ，有

特別地，當? 時，? 成立。

2）對矩陣??，有

3）若??和? 是??矩陣，則

4）若??的奇異值??，則

5）若??，且??和??的奇異值排列為??，?和??，則

6）設??矩陣??是去掉?矩陣??的任意一列得到的矩陣，且它們的奇異值都按照非降序排列，則

式中，??。

7）設??矩陣??是去掉??矩陣??的任意一行的到的矩陣，且它們的奇異值按照非降序排列，則

式中，??。

8）矩陣??的最大奇異值滿足不等式

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵分析与应用(20)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。