學習來源：《矩陣分析與應用》張賢達 清華大學出版社

矩陣的范數與內積

1. 矩陣的內積

? ? ? ? 設矩陣??，把矩陣??的元素按行優先排列成一個列向量

稱向量??為矩陣??按行拉直的列向量。類似地矩陣??也可以按列優先展開。

? ? ? ? 設??，稱?

為矩陣??的內積。其中：??為矩陣??的跡。

2. 主要性質

? ? ? ? 1）交換律：??；

? ? ? ? 2）其次性：??；

? ? ? ? 3）分配律：??；

? ? ? ? 4）非負性：??，?當且僅當??時，。

3. 矩陣的范數

? ? ? ? 對任意一個矩陣??，用??表示按照某一確定法則與矩陣??相對應的一個實數，且滿足：

? ? ? ? 1）對于任意??有??，當且僅當??時，??；

? ? ? ? 2）對任意實數??有??；

? ? ? ? 3）矩陣范數滿足三角不等式??；

? ? ? ? 4）兩個矩陣乘積的范數小于或等于兩個矩陣范數的乘積，即??。

那么稱??為矩陣??的范數。

4. 例：

??????????矩陣??的實值函數

可以驗證：

? ? ? ? 1）??，并且當??即??時，??。

? ? ? ? 2）??。

? ? ? ? 3）?

? ? ? ? 4） 對于兩個矩陣的乘積，有?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??

????????因此，實函數

??

????????是一種矩陣??的范數。

5. 經典矩陣范數

? ? ? ? 1）Frobenius 范數

????????這一定義可以視為向量的 Euclidean 范數對按照矩陣各行排列的 “長向量”

????????的推廣。

? ? ? ? 2）??范數

????????式中，??是向量??的??范數。

? ? ? ? 3）行和范數

? ? ? ? 4）列和范數

? ? ? ? 5）譜范數

????????式中，??是矩陣??的的最大奇異值，即??的最大特征值??的正平方根。

? ? ? ? 6）Mahalanobis 范數

????????式中，??為正定矩陣（所有特征值大于零的矩陣）。

6. 矩陣的內積與范數之間的關系

? ? ? ? 1） Cauchy-Schwartz 不等式

????????當且僅當??時，等號成立。??為某個復常數。

? ? ? ? 2） Pathagoras 定理

? ? ? ? 3）極化恒等式

????????式中，??代表取復數的實部。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵分析与应用(5)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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