矩陣分析與應用第一章

• • • 1. 矩陣基本知識
    • 2.向量的基本知識
    • 3. 向量空間
    • 4. 映射
    • 5. 隨機向量
    • 6.內積與范數
    • 7. 基與Gram-Schmidt正交化

1. 矩陣基本知識

共軛，共軛轉置

滿足A^H=A的正方復矩陣成為Hermitian矩陣或共軛對稱矩陣

逆矩陣

矩陣的共軛，轉置和共軛轉置性質

冪等矩陣，對合矩陣

矩陣內積

矩陣的導數，積分

矩陣函數及其導數

子矩陣

2.向量的基本知識

向量的線性無關

奇異矩陣，非奇異矩陣

復數方程求解

3. 向量空間

子空間

子空間運算

實內積空間

實內積空間與范數
（1）定義

（2）范數性質

復內積空間

復內積空間中范數的性質

4. 映射

變換

線性映射性質

5. 隨機向量

實隨機向量

• 隨機向量的分布和概率密度
  分布函數：
  
  概率密度：
  
  邊緣概率密度：
  
  獨立：
  

復隨機變量

分布函數：

概率密度：

統計描述
均值向量：

自相關矩陣：
隨機向量的二階矩，描述隨機向量分布的散布情況。

自協方差


x與與的互相關矩陣：

互協方差矩陣：

隨機向量的線性變換

自相關矩陣關系:

自協方差矩陣關系：

x與y的互相關矩陣：


x與y的互協方差矩陣：

6.內積與范數

內積公理：

常數向量的內積與范數

• 定義：
  （1）內積
  
  （2）夾角
  
  （3）正交：
  
  （4）范數
  
• 函數向量的內積與范數
  
• 隨機向量的內積與范數
  

向量的相似度
（1）近鄰分類法
Euclidean距離


Mahalanobis距離
m代表N個樣本模式向量的均值向量

使用C代表N個樣本模式向量的協方差矩陣
總未知模式向量x到均值向量m之間的Mabalanobis距離為：

Tanimoto測度：

廣泛應用于信息回復，疾病分類，動物，植物分類。
目標-概念距離：

向量范數用作Lyapunov函數

• Lyapunov穩定性定理：
  
  

矩陣范數與內積

• 范數性質
  
• 矩陣范數
  
  
• 矩陣范數與內積關系
  

7. 基與Gram-Schmidt正交化

向量子空間的基

• 子空間/閉包
  
• 基向量
  
• 對偶基和正交基
  
  

Gram-Schmidt正交化

【常用的二維正交化】

Bijorck正交化（常用，具有更好的性能）

1.10和第四章之后。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵分析与应用（一）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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