第一章 矩陣與線(xiàn)性方程組 （二）

文章目錄

• 第一章 矩陣與線(xiàn)性方程組 （二）
• 一、 矩陣的基本運(yùn)算
• • 1. 復(fù)矩陣和實(shí)矩陣
  • 2. 轉(zhuǎn)置、復(fù)數(shù)共軛
  • 3. 簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算
  • • 3.1 兩個(gè)矩陣的加法
    • 3.2 矩陣與一個(gè)標(biāo)量的乘法
    • 3.3 矩陣與向量的乘積
    • 3.4 矩陣與矩陣的乘積
  • 4. 運(yùn)算規(guī)則
  • • 4.1 加法
    • 4.2 乘法
  • 5. 逆矩陣
  • 6. 矩陣的共軛、轉(zhuǎn)置、共軛轉(zhuǎn)置和逆矩陣的性質(zhì)
  • • 6.1 矩陣的共軛、轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置滿(mǎn)足分配律
    • 6.2 矩陣乘積的轉(zhuǎn)置、共軛轉(zhuǎn)置和逆矩陣滿(mǎn)足關(guān)系式
    • 6.3 共軛、轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置等符號(hào)均可與求逆符號(hào)交換
    • 6.4 對(duì)應(yīng)任意矩陣$A$，矩陣$B=A^{H}A$都是Hermitian矩陣

一、 矩陣的基本運(yùn)算

1. 復(fù)矩陣和實(shí)矩陣

令R表示實(shí)數(shù)集合，C表示復(fù)數(shù)集合。
一個(gè)復(fù)矩陣定義為按照長(zhǎng)方陣列排列的復(fù)數(shù)集合，記作

類(lèi)似地，一個(gè)實(shí)矩陣記作

2. 轉(zhuǎn)置、復(fù)數(shù)共軛

• 若$A=[a_{ij}]$是一個(gè)m * n矩陣，則$A$的轉(zhuǎn)置記作$A^T$,是一個(gè)n * m矩陣，定義為$[A^T{]}_{ij}=a_{ji}$
• 矩陣$A$的復(fù)數(shù)共軛$A^{?}$定義為$[A^{?}{]}_{ij}=a_{ij}^{?}$
• 復(fù)共軛轉(zhuǎn)置記作$A^H$，定義為
  
  共軛轉(zhuǎn)置又叫Hermitian伴隨、Hermitian轉(zhuǎn)置或Hermitian共軛。滿(mǎn)足$A^H=A$的正方復(fù)矩陣稱(chēng)為Hermitian矩陣或共軛對(duì)稱(chēng)矩陣。

共軛轉(zhuǎn)置與轉(zhuǎn)置之間存在下列關(guān)系：
$$A^H=(A^{?}{)}^T=(A^T{)}^{?}$$

3. 簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算

3.1 兩個(gè)矩陣的加法

兩個(gè)m * n矩陣$A=[a_{ij}]$ 和 $B=[b_{ij}]$之和記作$A+B$， 定義為$[A+B{]}_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

3.2 矩陣與一個(gè)標(biāo)量的乘法

令$A=[a_{ij}]$是一個(gè)m * n矩陣，且$\alpha$是一個(gè)標(biāo)量。乘積$\alpha$$A$是一個(gè)m * n矩陣，定義為$[$ $\alpha$$A{]}_{ij}=\alpha a_{ij}$

3.3 矩陣與向量的乘積

m * n矩陣$A=[a_{ij}]$ 與r * 1 向量$x=[x_1,x_2,???,x_r{]}^T$的乘積$Ax$只有當(dāng)n=r時(shí)才存在，它是一個(gè)m * 1向量，定義為

3.4 矩陣與矩陣的乘積

m * n矩陣$A=[a_{ij}]$ 與r * s 矩陣$B=[b_{ij}]$的乘積$AB$只有當(dāng)n=r時(shí)才存在，它是一個(gè)m * s向量，定義為

4. 運(yùn)算規(guī)則

4.1 加法

• 加法交換律：$A+B=B+A$
• 加法結(jié)合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$

4.2 乘法

• 乘法結(jié)合律：$A(BC)=(AB)C$
• 乘法左分配律：若$A$和$B$是兩個(gè)m * n矩陣，且$C$是一個(gè)n * p矩陣，則$(A+B)C=AC+BC$
• 乘法右分配律：若$A$是兩個(gè)m * n矩陣，且$B$和$C$是一個(gè)n * p矩陣，則$A(B+C)=AB+AC$
• 若$\alpha$是一個(gè)標(biāo)量，并且$A$和$B$是兩個(gè)m* n矩陣，則$\alpha$ $(A+B)=\alpha A+\alpha B$

5. 逆矩陣

令A(yù)是一個(gè)n * n矩陣。稱(chēng)矩陣$A$可逆，若可以找到一個(gè)n * n矩陣$A^{?1}$ 滿(mǎn)足$A{A}^{?1}=A^{?1}A=I$，并稱(chēng)$A^{?1}$是矩陣$A$的逆矩陣。

6. 矩陣的共軛、轉(zhuǎn)置、共軛轉(zhuǎn)置和逆矩陣的性質(zhì)

6.1 矩陣的共軛、轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置滿(mǎn)足分配律

$(A+B{)}^{?}=A^{?}+B^{?}$
$(A+B{)}^T=A^T+B^T$
$(A+B{)}^H=A^H+B^H$

6.2 矩陣乘積的轉(zhuǎn)置、共軛轉(zhuǎn)置和逆矩陣滿(mǎn)足關(guān)系式

$(AB{)}^T=B^T{A}^T$
$(AB{)}^H=B^H{A}^H$
$(AB{)}^{?1}=B^{?1}{A}^{?1}$ A,B為可逆的正方矩陣

6.3 共軛、轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置等符號(hào)均可與求逆符號(hào)交換

$(A^{?}{)}^{?1}=(A^{?1}{)}^{?}$ , $(A^T{)}^{?1}=(A^{?1}{)}^T$,$(A^H{)}^{?1}=(A^{?1}{)}^H$
因此，常常分別采用緊湊的數(shù)學(xué)符號(hào)$A^{??}$,$A^{?T}$,$A^{?H}$

6.4 對(duì)應(yīng)任意矩陣$A$，矩陣$B=A^{H}A$都是Hermitian矩陣

若$A$可逆，則對(duì)于Hermitian矩陣$B=A^{H}A$，有$A^{?H}B{A}^{?1}=A^{?H}{A}^{H}A{A}^{?1}=I$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵分析与应用+张贤达的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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