在編制指標(biāo)體系和數(shù)據(jù)分析時，需要從多個維度對多個評價對象進(jìn)行綜合評價時，可以考慮使用秩和比法。從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來看，當(dāng)評價對象較多時，結(jié)果會呈現(xiàn)較好的正態(tài)分布特征。

文章目錄

• 1. 背景介紹
• 2. 設(shè)計思想
• • 2.1 優(yōu)點(diǎn)
  • 2.1 缺點(diǎn)
• 3. 計算步驟
• • 3.1 編秩
  • • 3.1.1 整次秩和比法
    • 3.1.1 非整次秩和比法
  • 3.2 計算RSR
  • 3.3 評價對象分級
  • • 3.3.1 確定RSR分布
    • 3.3.2 計算回歸方程
    • 3.3.3 計算校正RSR值
    • 3.3.4 根據(jù)校正RSR分級
• 4. 相關(guān)代碼Python

1. 背景介紹

秩和比法（Rank-sum ratio，簡稱RSR法），是我國學(xué)者、原中國預(yù)防醫(yī)學(xué)科學(xué)院田鳳調(diào)教授于1988年提出的，集古典參數(shù)統(tǒng)計與近代非參數(shù)統(tǒng)計各自優(yōu)點(diǎn)于一體的統(tǒng)計分析方法。

它不僅適用于四格表資料的綜合評價，也適用于行×列表資料的綜合評價，同時也適用于計量資料和分類資料的綜合評價。

RSR法現(xiàn)在廣泛地應(yīng)用于醫(yī)療衛(wèi)生、科技、經(jīng)濟(jì)等鄰域的多指標(biāo)綜合評價、統(tǒng)計預(yù)測預(yù)報、鑒別分類、統(tǒng)計質(zhì)量控制等方面。

2. 設(shè)計思想

使用數(shù)據(jù)大小的相對關(guān)系，對評價對象進(jìn)行排名，根據(jù)排名的結(jié)果計算得到RSR。

一般過程是將效益型指標(biāo)從小到大排序進(jìn)行排名、成本型指標(biāo)從大到小排序進(jìn)行排名，再計算秩和比，最后統(tǒng)計回歸、分檔排序。通過秩轉(zhuǎn)換，獲得無量綱統(tǒng)計量RSR；

在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用參數(shù)統(tǒng)計分析的概念與方法，研究RSR的分布；以RSR值對評價對象的優(yōu)劣直接排序或分檔排序，從而對評價對象做出綜合評價。

2.1 優(yōu)點(diǎn)

以非參數(shù)法為基礎(chǔ)，對指標(biāo)的選擇無特殊要求，適用于各種評價對象，由于計算時使用的數(shù)值是秩次，可以消除異常值的干擾。

2.1 缺點(diǎn)

排序的主要依據(jù)是利用原始數(shù)據(jù)的秩次，最終算得的 RSR 值反映的是綜合秩次的差距，而與原始數(shù)據(jù)的順位間的差距程度大小無關(guān)，這樣在指標(biāo)轉(zhuǎn)化為秩次是會失去一些原始數(shù)據(jù)的信息，如原始數(shù)據(jù)的大小差別等。

當(dāng) RSR 值實(shí)際上不滿足正態(tài)分布時，分檔歸類的結(jié)果與實(shí)際情況會有偏差（根據(jù)中心極限定理，樣本量大時會趨近于正態(tài)分布），且只能回答分級程度是否有差別，不能進(jìn)一步回答具體的差別情況。

3. 計算步驟

此處計算步驟以基金投資案例說明，選取7個指標(biāo)對基金投資進(jìn)行評價。

其中X1,X2,X3為正向指標(biāo)（效益型指標(biāo)），值越大越好，排序時從小到大排。

? X4,X5為負(fù)向指標(biāo)（成本型指標(biāo)），值越低越好，排序時從大到小排。

原始數(shù)據(jù)如下：

X1X2X3X4X5

1	34100	0.999091	0.98	0.971793	0.002727
2	22630	0.673973	0.673973	1	0
3	5766	0.774194	0.774194	0.993056	0
4	992	1	0.9375	0.71875	0.21875
5	13206	0.680751	0.664319	0.775862	0.00939
6	26319	0.831567	0.804476	0.805949	0.014134
7	45601	0.807614	0.7845	0.771886	0.004759
8	34007	0.836828	0.807657	0.899782	0.000912
9	34565	0.910314	0.896861	0.796059	0.006278
10	5735	1	1	1	0

3.1 編秩

編秩方法有整次秩和比法和非整次秩和比法。

3.1.1 整次秩和比法

將 n 個評價對象的 m 個評價指標(biāo)排列成 n 行 m 列的原始數(shù)據(jù)表。編出每個指標(biāo)各評價對象的秩，其中效益型指標(biāo)從小到大編秩，成本型指標(biāo)從大到小編秩，同一指標(biāo)數(shù)據(jù)相同者編平均秩。

得到秩矩陣 $R={\left(R_{ij}\right)}_{m\times n}$

如下表：

對X2按從小到大排序，其中值為1的兩個指標(biāo)（ $R_{4,2}$， $R_{10,1}$ ），按算術(shù)平均進(jìn)行編秩：(9+10)/2=9.5

對X5按從大到小排序，其中值為0的三個指標(biāo)，按算術(shù)平均進(jìn)行編秩：(8+9+10)/3=9

X1R1X2R2X3R3X4R4X5R5

1	34100	8	0.999091	8	0.98	9	0.971793	4	0.002727	6
2	22630	5	0.673973	1	0.673973	2	1	1.5	0	9
3	5766	3	0.774194	3	0.774194	3	0.993056	3	0	9
4	992	1	1	9.5	0.9375	8	0.71875	10	0.21875	1
5	13206	4	0.680751	2	0.664319	1	0.775862	8	0.00939	3
6	26319	6	0.831567	5	0.804476	5	0.805949	6	0.014134	2
7	45601	10	0.807614	4	0.7845	4	0.771886	9	0.004759	5
8	34007	7	0.836828	6	0.807657	6	0.899782	5	0.000912	7
9	34565	9	0.910314	7	0.896861	7	0.796059	7	0.006278	4
10	5735	2	1	9.5	1	10	1	1.5	0	9

3.1.1 非整次秩和比法

用類似于線性插值（也比較像優(yōu)劣解距離法）的方式對指標(biāo)值進(jìn)行編秩，以改進(jìn) RSR 法編秩方法的不足，所編秩次與原指標(biāo)值之間存在定量的線性對應(yīng)關(guān)系，從而克服了 RSR 法秩次化時易損失原指標(biāo)值定量信息的缺點(diǎn)。

• 對于正向指標(biāo)（效益型指標(biāo)）： $R_{ij}=1+\left(n?1\right)\frac{X_{ij}?min\left(X_{1j},X_{2j},...,X_{nj}\right)}{max\left(X_{1j},X_{2j},...,X_{nj}\right)?min\left(X_{1j},X_{2j},...,X_{nj}\right)}$
• 對于負(fù)向指標(biāo)（成本型指標(biāo)）： $R_{ij}=1+\left(n?1\right)\frac{max\left(X_{1j},X_{2j},...,X_{nj}\right)?X_{ij}}{max\left(X_{1j},X_{2j},...,X_{nj}\right)?min\left(X_{1j},X_{2j},...,X_{nj}\right)}$

3.2 計算RSR

將某對象的各秩乘以相應(yīng)的權(quán)重并求和后，除以對象個數(shù)，得到該對象的RSR，公式： $RS{R}_i=\frac{1}{n}{\sum }_{j=1}^m{\omega }_j{R}_{ij}$

其中，$i$表示某個對象，$j$表示各指標(biāo)的序號。

當(dāng)各指標(biāo)權(quán)重相同時，權(quán)重 ${\omega }_j=\frac{1}{m}$ ，RSR的計算可以簡化為： $RS{R}_i=\frac{1}{mn}{\sum }_{j=1}^m{R}_{ij}$

• 本步驟計算得到的RSR，即可作為為各對象綜合評價得分。
• 有時我們不僅需要計算綜合得分，還需要對評價對象進(jìn)行分級，此時可以從正態(tài)分布的角度對各評價對象分級。

本例中使用整次秩和比法編秩，計算結(jié)果如下，如 $RS{R}_{11}=\left(8+8+9+4+6\right)/(5\times 10)=0.7$

X1X2X3X4X5R1R2R3R4R5RSR

1	34100	0.999091	0.980000	0.971793	0.002727	8	8	9	4	6	0.7
2	22630	0.673973	0.673973	1	0	5	1	2	1.5	9	0.37
3	5766	0.774194	0.774194	0.993056	0	3	3	3	3	9	0.42
4	992	1	0.937500	0.71875	0.21875	1	9.5	8	10	1	0.59
5	13206	0.680751	0.664319	0.775862	0.00939	4	2	1	8	3	0.36
6	26319	0.831567	0.804476	0.805949	0.014134	6	5	5	6	2	0.48
7	45601	0.807614	0.784500	0.771886	0.004759	10	4	4	9	5	0.64
8	34007	0.836828	0.807657	0.899782	0.000912	7	6	6	5	7	0.62
9	34565	0.910314	0.896861	0.796059	0.006278	9	7	7	7	4	0.68
10	5735	1	1.000000	1	0	2	9.5	10	1.5	9	0.64

3.3 評價對象分級

對RSR進(jìn)行分布檢驗(yàn)，確認(rèn)分布之后通過分布的概率進(jìn)行分級。主要步驟：

通過將RSR進(jìn)行排序，并轉(zhuǎn)為概率單位Probit

回歸分析，計算出回歸方程

將第1步的概率單位代入到第2步的回歸方程，計算出校正RSR值

根據(jù)校正RSR值進(jìn)行分級

3.3.1 確定RSR分布

確定RSR分布是指用概率單位Probit表達(dá)值的累計頻率。Probit模型是一種廣義的線性模型，服從正態(tài)分布。其轉(zhuǎn)換步驟為：

編制RSR頻數(shù)分布表，列出各組頻數(shù) $f$ ，計算各組累計頻數(shù) $\sum f$

為各組RSR編秩

計算累計頻率 $\bar{R}/n\times 100$ ，最后一項(xiàng)使用 $1?\frac{1}{4n}$ 進(jìn)行修正。（不修正的話，該值對應(yīng)的Probit為無窮大，不能用于計算）

將累計頻率換算為概率單位$Probit$，Probit為累計頻率對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差加5。（研究過程經(jīng)常通過加5，使結(jié)果都為正數(shù)）

以上4個步驟為理論步驟，實(shí)際操作中可以簡化為：

將RSR按從小到大進(jìn)行排序，計算各RSR值的分位數(shù)，RSR值一樣的分位數(shù)使用算術(shù)平均值法計算。（該分位數(shù)結(jié)果與上一方法中第3步一致）

將累計頻率換算為概率單位Probit，Probit為累計頻率對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差加5。換算時將分位數(shù)值為1的使用 $1?\frac{1}{4n}$ 進(jìn)行修正。

X1X2X3X4X5R1R2R3R4R5RSRfΣf$\bar{R}/n$$\bar{R}/n$ 修正原ProbitProbit

1	13206	0.680751	0.664319	0.775862	0.00939	4	2	1	8	3	0.36	1	1	0.1	0.1	-1.28155	3.718448
2	22630	0.673973	0.673973	1	0	5	1	2	1.5	9	0.37	1	2	0.2	0.2	-0.84162	4.158379
3	5766	0.774194	0.774194	0.993056	0	3	3	3	3	9	0.42	1	3	0.3	0.3	-0.5244	4.475599
4	26319	0.831567	0.804476	0.805949	0.014134	6	5	5	6	2	0.48	1	4	0.4	0.4	-0.25335	4.746653
5	992	1	0.937500	0.71875	0.21875	1	9.5	8	10	1	0.59	1	5	0.5	0.5	0	5
6	34007	0.836828	0.807657	0.899782	0.000912	7	6	6	5	7	0.62	1	6	0.6	0.6	0.253347	5.253347
7	45601	0.807614	0.784500	0.771886	0.004759	10	4	4	9	5	0.64	1	7.5	0.75	0.75	0.67449	5.67449
8	5735	1	1.000000	1	0	2	9.5	10	1.5	9	0.64	1	7.5	0.75	0.75	0.67449	5.67449
9	34565	0.910314	0.896861	0.796059	0.006278	9	7	7	7	4	0.68	1	9	0.9	0.9	1.281552	6.281552
10	34100	0.999091	0.980000	0.971793	0.002727	8	8	9	4	6	0.7	1	10	1	0.975	1.959964	6.959964

3.3.2 計算回歸方程

通過QQ圖的方式對數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。以累積頻率所對應(yīng)的概率單位Probit為自變量，RSR值為因變量，計算直線回歸方程： $RSR=a+b\times Probit$

計算出回歸方程之后，需要進(jìn)行校驗(yàn)，主要包括：殘差獨(dú)立性檢驗(yàn)、方差齊性檢驗(yàn)、回歸系數(shù)有效性檢驗(yàn)、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

? 此處的校驗(yàn)R-squared和Adj. R-squared值并不高，因?yàn)閿?shù)據(jù)做了截取。在真實(shí)數(shù)據(jù)中這兩項(xiàng)的值都超過了0.99

3.3.3 計算校正RSR值

將Probit代入回歸方程，計算出校正RSR值

X1X2X3X4X5R1R2R3R4R5RSRfΣfR/nR/n’ProbitProbit’regression

1	13206	0.680751	0.664319	0.775862	0.00939	4	2	1	8	3	0.36	1	1	0.1	0.1	-1.28155	3.718448	0.368154
2	22630	0.673973	0.673973	1	0	5	1	2	1.5	9	0.37	1	2	0.2	0.2	-0.84162	4.158379	0.42236
3	5766	0.774194	0.774194	0.993056	0	3	3	3	3	9	0.42	1	3	0.3	0.3	-0.5244	4.475599	0.461446
4	26319	0.831567	0.804476	0.805949	0.014134	6	5	5	6	2	0.48	1	4	0.4	0.4	-0.25335	4.746653	0.494844
5	992	1	0.937500	0.71875	0.21875	1	9.5	8	10	1	0.59	1	5	0.5	0.5	0	5	0.52606
6	34007	0.836828	0.807657	0.899782	0.000912	7	6	6	5	7	0.62	1	6	0.6	0.6	0.253347	5.253347	0.557276
7	45601	0.807614	0.784500	0.771886	0.004759	10	4	4	9	5	0.64	1	7.5	0.75	0.75	0.67449	5.67449	0.609168
8	5735	1	1.000000	1	0	2	9.5	10	1.5	9	0.64	1	7.5	0.75	0.75	0.67449	5.67449	0.609168
9	34565	0.910314	0.896861	0.796059	0.006278	9	7	7	7	4	0.68	1	9	0.9	0.9	1.281552	6.281552	0.683967
10	34100	0.999091	0.980000	0.971793	0.002727	8	8	9	4	6	0.7	1	10	1	0.975	1.959964	6.959964	0.767558

3.3.4 根據(jù)校正RSR分級

在分級時可以按照合理拍檔或最佳拍檔原則進(jìn)行分級。本例中將40%以下的作為C等，80%以下的作為B等，其余的作為A等。40%，80%對應(yīng)的就是正態(tài)分布函數(shù)的累計概率（面積）。

注：其實(shí)在實(shí)際操作中，level分類時，直接使用regression的分位數(shù)得到的效果也是一樣的，而且操作起來更簡單。

X1X2X3X4X5R1R2R3R4R5RSRfΣfR/nR/n’ProbitProbit’regressionlevel

1	13206	0.680751	0.664319	0.775862	0.00939	4	2	1	8	3	0.36	1	1	0.1	0.1	-1.28155	3.718448	0.368154	C
2	22630	0.673973	0.673973	1	0	5	1	2	1.5	9	0.37	1	2	0.2	0.2	-0.84162	4.158379	0.42236	C
3	5766	0.774194	0.774194	0.993056	0	3	3	3	3	9	0.42	1	3	0.3	0.3	-0.5244	4.475599	0.461446	C
4	26319	0.831567	0.804476	0.805949	0.014134	6	5	5	6	2	0.48	1	4	0.4	0.4	-0.25335	4.746653	0.494844	C
5	992	1	0.937500	0.71875	0.21875	1	9.5	8	10	1	0.59	1	5	0.5	0.5	0	5	0.52606	B
6	34007	0.836828	0.807657	0.899782	0.000912	7	6	6	5	7	0.62	1	6	0.6	0.6	0.253347	5.253347	0.557276	B
7	45601	0.807614	0.784500	0.771886	0.004759	10	4	4	9	5	0.64	1	7.5	0.75	0.75	0.67449	5.67449	0.609168	B
8	5735	1	1.000000	1	0	2	9.5	10	1.5	9	0.64	1	7.5	0.75	0.75	0.67449	5.67449	0.609168	B
9	34565	0.910314	0.896861	0.796059	0.006278	9	7	7	7	4	0.68	1	9	0.9	0.9	1.281552	6.281552	0.683967	A
10	34100	0.999091	0.980000	0.971793	0.002727	8	8	9	4	6	0.7	1	10	1	0.975	1.959964	6.959964	0.767558	A

4. 相關(guān)代碼Python

import pandas as pd import statsmodels.api as sm from warnings import simplefilter from scipy.stats import normdf = pd.DataFrame([[34100, 0.999091, 0.98, 0.971793, 0.002727],[22630, 0.673973, 0.673973, 1, 0],[5766, 0.774194, 0.774194, 0.993056, 0],[992, 1, 0.9375, 0.71875, 0.21875],[13206, 0.680751, 0.664319, 0.775862, 0.00939],[26319, 0.831567, 0.804476, 0.805949, 0.014134],[45601, 0.807614, 0.7845, 0.771886, 0.004759],[34007, 0.836828, 0.807657, 0.899782, 0.000912],[34565, 0.910314, 0.896861, 0.796059, 0.006278],[5735, 1, 1, 1, 0] ], columns=["X1", "X2", "X3", "X4", "X5"]) # 正向指標(biāo),從小到大排序 df["R1"] = df["X1"].rank(ascending=True, method="average") df["R2"] = df["X2"].rank(ascending=True, method="average") df["R3"] = df["X3"].rank(ascending=True, method="average") # 負(fù)向指標(biāo),從大到小排 df["R4"] = df["X4"].rank(ascending=False, method="average") df["R5"] = df["X5"].rank(ascending=False, method="average") # 計算RSR值 df["RSR"] = df.loc[:, ["R1", "R2", "R3", "R4", "R5"]].sum(axis=1) / (5 * 10) # 排序 df.sort_values(by="RSR", inplace=True) # 因?yàn)閷?shí)際數(shù)據(jù)沒有重復(fù),此處偷懶,直接寫1 df["f"] = 1 df["Σf"] = df["RSR"].rank(method="average") df["R/n"] = df["Σf"] / len(df) df["R/n'"] = df["R/n"] df.iat[-1, -1] = 1 - 1 / 4 / len(df)df["Probit"] = norm.ppf(df["R/n'"]) df["Probit'"] = df["Probit"] + 5 import numpy as npr0 = np.polyfit(df["Probit'"], df["RSR"], deg=1) if r0[1] > 0:print(f"\n回歸直線方程為：y = {r0[0]} Probit + {r0[1]}") else:print(f"\n回歸直線方程為：y = {r0[0]} Probit - {abs(r0[1])}")simplefilter(action="ignore", category=FutureWarning) simplefilter(action="ignore", category=UserWarning) print(sm.OLS(df["Probit"], sm.add_constant(df["RSR"])).fit().summary()) df["regression"] = np.polyval(r0, df["Probit'"])C_LEVEL = norm.ppf(0.4) + 5 B_LEVEL = norm.ppf(0.8) + 5 A_LEVEL = 10threshold = np.polyval(r0, [0, C_LEVEL, B_LEVEL, A_LEVEL]) print("threshold:", threshold) df["level"] = pd.cut(df["regression"], threshold, labels=["C", "B", "A"]) df["regression_pct"] = df["regression"].rank(pct=True, ascending=True, method="average") # 設(shè)置pandas打印時顯示的列數(shù) pd.set_option("display.max_columns", 1000) pd.set_option("display.max_columns", None) pd.set_option("display.width", 1000) print(df)

總結(jié)

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