矩陣的秩怎么計算，這個問題一下子我居然不知道怎么下手。。雖然本科的時候?qū)W過線性代數(shù)，但是好久不用，很多東西都忘了。。今天略微梳理一下吧。

最簡單直觀的方法：

化成行最簡形（或行階梯形），然后數(shù)一下非零行數(shù)

例如：

將矩陣做初等行變換后，非零行的個數(shù)叫行秩
將其進行初等列變換后，非零列的個數(shù)叫列秩
矩陣的秩是方陣經(jīng)過初等行變換或者列變換后的行秩或列秩

矩陣的秩是線性代數(shù)中的一個概念。在線性代數(shù)中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數(shù)。通常表示為r(A)，rk(A)或rankA。

在線性代數(shù)中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數(shù)目。類似地，行秩是A的線性無關(guān)的橫行的極大數(shù)目。通俗一點說，

如果把矩陣看成一個個行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無關(guān)組中所含向量的個數(shù)。

拓展資料;

變化規(guī)律

(1) 轉(zhuǎn)置后秩不變

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩陣

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

也就是說，化為階梯形矩陣，階梯形的非零行數(shù)即為矩陣的秩。把矩陣看成是列向量組，矩陣的秩等于這些向量組的極大線性無關(guān)組。
矩陣的秩
矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個重要概念。
定義1. 在m′n矩陣A中，任意決定k行和k列 (1￡k￡min{m,n}) 交叉點上的元素構(gòu)成A的一個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為A的一個k階子式。
例如，在階梯形矩陣 中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 就是矩陣A的一個2階子式。
定義2. A=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數(shù)稱為矩陣A
的秩，記作rA，或rankA。
特別規(guī)定零矩陣的秩為零。
顯然rA≤min(m,n) 易得：
若A中至少有一個r階子式不等于零，且在r<min(m,n)時，A中所有的r+1階子式全為零，則A的秩為r。
由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n，通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(A)1 0；不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(A)=0。
由行列式的性質(zhì)1(1.5[4])知，矩陣A的轉(zhuǎn)置AT的秩與A的秩是一樣的。
參考資料： http://bk.baidu.com/view/346467.htm

再來一個例子：
如圖，如果是圖中的矩陣的話，如何求它的秩？

通過初等行變換(就是一行的多少倍加的另一行，或行交換，或者某一行乘以一個非零倍數(shù))把矩陣化成行階梯型(行階梯形就是任一行從左數(shù)第一個非零數(shù)的列序數(shù)都比上一行的大。

形象的說就是形成一個階梯，)。這樣數(shù)一下非零行(零行就是全是零的行，非零行就是不全為零的行)的個數(shù)就是秩。
根據(jù)定義求解，定義如下：

設(shè)有向量組A（A可以含有限個向量,也可以含無限多個向量）,如果在A中能選出r個向量a1,a2,…ar,滿足

（1）a1,a2,…ar線性無關(guān)；

（2）A中任意r+1個向量線性相關(guān)。

則向量組a1，a2，…，ar稱為向量組A的最大線性無關(guān)向量組（簡稱最大無關(guān)組），數(shù)r稱為向量組A的秩，只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定他的秩為0求解過程用相似矩陣的相似變化求解。

解：第三行減去第一行，得：

1，1，1，a；0，0，0，1；0，0，0，1-a。

第二行的-(1-a)倍加到第三行，得：

1，1，1，a；0，0，0，1；0，0，0，0。

這是一個行階梯形矩陣，非零行的行數(shù)為2，所以矩陣的秩為2。

擴展資料：

矩陣的秩的定理：

若A~B，則R(A)= R(B)。

根據(jù)這一定理，為求矩陣的秩，只要把矩陣用初等行變換成行階梯形矩陣，易見該矩陣最高階非零子式的階數(shù)。顯然行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩。這就給出求矩陣秩的方法。

如果向量組：

（I）α1，α2，…，αsα1，α2，…，αs可以由。

（II）β1，β2，…，βtβ1，β2，…，βt線性表出，則r(II)≥r(I)r(II)≥r(I)。

解釋為：能表出其他向量組，則其他向量組必然在自己的范圍內(nèi)，如果II的秩沒有I大，則撐不起I張起的空間。這是很酷的一個定理。

r(A) = A的行秩（矩陣A的行向量組的秩）= A的列秩（矩陣A的列向量組的秩）。

初等變換的向量組的秩不變。

最后總結(jié)一下：
求秩有三種：
1 你給的例子
用初等變換秩不變 然后討論未知數(shù)情況；比較簡單；
2 特殊行列式
用加邊法、累加寫出結(jié)果
用行列式值是否等于零與滿秩的關(guān)系；
3 實對稱針用多角化再判斷

更高級的一點的可以說有五種方法：
矩陣秩的求法很多，一般歸結(jié)起來有以下幾種：
1)通過對矩陣做初等變換（包括行變換以及列變換）化簡為梯形矩陣求秩。此類求解一般適用于矩陣階數(shù)不是很大的情況，可以精確確定矩陣的秩，而且求解快速比較容易掌握。
2)通過矩陣的行列式，由于行列式的概念僅僅適用于方陣的概念。通過行列式是否為0則可以大致判斷出矩陣是否是滿秩。
3)對矩陣做分塊處理，如果矩陣階數(shù)較大時將矩陣分塊通過分塊矩陣的性質(zhì)來研究原矩陣的秩也是重要的研究方法。此類情況一般也是可以確定原矩陣秩的。
4)對矩陣分解，此處區(qū)別與上面對矩陣分塊。例如n階方陣A，R分解（Q為正交陣,R為上三角陣）以及Jordan分解等。通過對矩陣分解，將矩陣化繁為簡來求矩陣的秩也會有應(yīng)用。
5)對矩陣整體做初等變換(行變換為左乘初等矩陣，列變換為右乘初等矩陣)。此類情況多在證明秩的不等式過程有應(yīng)用，技巧很高與前面提到的分塊矩陣聯(lián)系密切。

拓展資料：
矩陣的運算：矩陣的最基本運算包括矩陣加（減）法，數(shù)乘和轉(zhuǎn)置運算。被稱為“矩陣加法”、“數(shù)乘”和“轉(zhuǎn)置”的運算不止一種。給出 m×n 矩陣 A 和 B，可定義它們的和 A + B 為一 m×n 矩陣，等 i,j 項為 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。

舉例：另類加法可見于矩陣加法。若給出一矩陣 A 及一數(shù)字 c，可定義標量積 cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。 例如這兩種運算令 M(m, n, R) 成為一實數(shù)線性空間，維數(shù)是mn.若一矩陣的列數(shù)與另一矩陣的行數(shù)相等，則可定義這兩個矩陣的乘積。

如 A 是 m×n 矩陣和 B 是 n×p矩陣，它們是乘積 AB 是一個 m×p 矩陣，其中(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + … + A[i, n] * B[n, j] 對所有 i 及 j。

例如此乘法有如下性質(zhì)：(AB)C = A(BC) 對所有 k×m 矩陣 A, m×n 矩陣 B 及 n×p 矩陣 C (“結(jié)合律”).(A + B)C = AC + BC 對所有 m×n 矩陣 A 及 B 和 n×k 矩陣 C (“分配律”)。C(A + B) = CA + CB 對所有 m×n 矩陣 A 及 B 和 k×m 矩陣 C (“分配律”)。

要注意的是：可置換性不一定成立，即有矩陣 A 及 B 使得 AB ≠ BA。對其他特殊乘法，見矩陣乘法。

另外一個結(jié)論：
矩陣的秩等于它的非零奇異值的個數(shù)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵求秩的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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