機器人學導論第二章

我們定義的位姿都是通過世界坐標系定義的笛卡爾坐標系。

點的位置可以用矢量描述；物體的姿態可以用固定在物體上的坐標系來描述，用一個矩陣來表示。
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旋轉矩陣的逆矩陣等于它的轉置。旋轉矩陣是單位陣。

位置和姿態經常成對出現，因此將其稱作坐標系，四個矢量為一組，表示了位置和姿態的信息。一個矢量指向位置，另外三個矢量表示姿態，等價于一個坐標系可以用一個位置矢量和一個旋轉矩陣描述。如果位置矢量是零矢量，那它表示的就是姿態。

2.3映射：從坐標到坐標軸的變換。
不同坐標系中的矢量只有在坐標系的姿態相同這種情況下才可以相加。
平移坐標系的映射:（在姿態相同的情況下才可以平移）
（1）

旋轉坐標系的映射：
旋轉矩陣：坐標系B對于坐標系A的三個單位方向向量作為列向量組成的3x3矩陣

問題根據題目寫出坐標系B的旋轉矩陣：矩陣的由三個單位列向量組成，且第一個向量是B坐標系x軸相對于A坐標系的 單位 向量。

對于一般情況，我們將求一個中間坐標系T使其和姿態坐標系A相同，原點和坐標系B相同，再運用以上關系求出映射。
（2）
由上似引出新的形式：
（3）
即用矩陣形式的算子表示了一個坐標系到另一個坐標系的映射。
為了用（3）的矩陣算子的形式寫出（2）式，定義一個4x4的矩陣算子并使用了4x1位置矢量，這樣（3）就變成了：
（4）
其中 等式中4x4的矩陣為齊次變換矩陣。

2.4 算子： 平移、旋轉和變換

• 用于坐標系間點的映射的通用數學表達式稱為算子，包括點的平移算子、矢量旋轉算子和平移加旋轉算子。

平移算子：

（AP1沿AQ矢量方向移動，得到一個新的矢量）
(1)
用矩陣算子寫出：
（2）
其中：

矢量q為平移矢量AQ。矢量AQ的方向決定了AP1的移動方向，決定式子中的符號變化。

旋轉算子:同2.3

旋轉算子R表示繞k軸旋轉theta角度。
注意是向前旋轉還是向后旋轉，反向若不同需用旋轉算子的逆。

2.5 總結

• 一個4x4的齊次變換陣包含旋轉與位置信息，相當于一個是矢量旋轉和平移的變換算子。
• 齊次變換陣是坐標系的描述、是變換的映射、是變換算子。

2.6 變換算法
混合變換:

逆變換：

2.7 變換方程
若已知以下兩個坐標系相對關系


可得出：

若只有一個未知量，則可通過其它變換求出：

2.8 姿勢的其它描述方法
旋轉矩陣也可被稱為標準正交矩陣，行列式為+1（非標準為-1）

用少于9個數字來表示一個姿態（正交矩陣的凱萊公式）
X-Y-Z固定角坐標系：首先將坐標系{B}和一個已知參考坐標系{A}重合。先將{B}繞X軸旋轉γ角，再繞Y軸旋轉β角，最后繞Z軸旋轉α角。每個旋轉都是繞著固定參考坐標系{A}的軸。我們規定這種姿勢的表示法為X-Y-Z固定角坐標系。有時把它們定義為回轉角、俯仰角和偏轉角。
可直接推導出等價的旋轉矩陣

（1）
其中cα為cosα的簡寫，以此類推。最重要的是搞清楚（1）式中的旋轉順序。
由（1）可推出結果：
（2）

逆解問題：根據旋轉矩陣求出等價X-Y-Z固定角坐標系

要求出對應固定角坐標系需要三個方程三個變量：

雖然存在第二個解，但在上式中取β的正根以得到單解，滿足**-90°≤β≤90°**。這樣就可以在各種姿態表示法之間定義一一對應的的映射函數。

Z-Y-X歐拉角：首先將坐標系{B}和一個已知參考坐標系{A}重合。先將{B}繞Z軸旋轉α角，再繞Y軸旋轉β角，最后繞X軸旋轉γ角。**在這種表示方法中，每次都是繞運動參考系{B}的各軸旋轉而不是繞固定坐標系{A}的各軸旋轉。**這樣三個一組的旋轉被稱為歐拉角。

計算結果與以相反順序繞固定軸旋轉三次得到的結果完全相同。
三次繞固定軸的最終姿態和以相反順序三次繞運動坐標軸旋轉的最終姿態相同。

Z-Y-Z歐拉角：首先將坐標系{B}和一個已知參考坐標系{A}重合。先將{B}繞Z軸{B}旋轉α角，再繞Y軸旋轉β角，最后繞Z軸旋轉γ角。

如果sinβ ≠ 90°可得到：

雖然存在第二個解，但我們總是滿足0.0≤β≤180.0°的單解。
如果β=0.0，則解為：

如果β=180.0°，則解為；

其它坐標系表示方法:見附錄B（24種）

總結

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