機器人學導論二

• • 連桿描述
  • 連桿連接的描述
  • • 連桿鏈中的中間連桿
    • 連桿的首尾端
    • D-H參數
  • 連桿坐標系
  • • 連桿鏈中的中間連桿
    • 連桿鏈中的首尾連桿
    • 建立連桿坐標系的步驟
  • 動力學
  • • 連桿變換的推導
    • 連續的連桿變換

連桿描述

三維空間中的任意兩個軸之間的距離均為一個確定值，兩個軸之間的距離即為兩軸之間公垂線的長度。兩軸之間的公垂線總是存在的，當兩軸不平行時，兩軸之間的公垂線只有一條。當兩關節軸平行時，則存在無數條長度相等的公垂線。關節軸i-1和關節軸i之間公垂線的長度為$a_{i?1}$，$a_{i?1}$即為連桿長度。也可以用另一種方法來描述連桿參數$a_{i?1}$以關節軸i-1為軸線作一個圓柱，并且把該圓柱的半徑向外擴大，直到該圓柱與關節軸i相交時，這時圓柱的半徑即等等于$a_{i?1}$。

用來定義兩關節軸相對位置的第二個參數為連桿轉角。假設作一個平面，并使該平面與兩關節軸之間的公垂線垂直，然后把關節軸i-1和關節軸i投影到該平面上，在平面內軸i-1按照右手法則繞$a_{i?1}$轉向軸i測量兩軸線之間的夾角θ，用轉角${\alpha }_{i?1}$定義連桿i-1的扭轉角。

連桿連接的描述

連桿鏈中的中間連桿

相鄰兩個連桿之間有一個公共的關節軸。沿兩個相鄰連桿公共軸線方向的距離可以用一個參數描述，該參數稱為連桿偏距。在關節軸i上的連桿偏距記為$d_i$。用另一個參數描述兩相鄰連桿繞公共軸線旋轉的夾角，該參數稱為關節角，記為${\theta }_i$。

圖中表示相互聯結的連桿i-1和連桿i。根據前面的定義可知$a_{i?1}$;表示連接連桿i-1兩端關節軸的公垂線長度。同樣，$a_i$表示連接連桿i兩端關節軸的公垂線長度。描述相鄰兩連桿連接關系的第一個參數是從公垂線$a_{i?1}$，與關節軸i的交點到公垂線$a_i$與關節軸i的交點的有向距離，即連桿偏距$d_i$。連桿偏距$d_i$的表示方法如圖所示。當關節i為移動關節時，連桿偏距$d_i$是一個變量。描述相鄰兩連桿連接關系的第二個參數是$a_{i?1}$的延長線和$a_i$之間繞關節軸i旋轉所形成的夾角，即關節角${\theta }_i$如圖所示。圖中，標有雙斜線的直線為平行線。當關節i為轉動關節時， 關節角${\theta }_i$是一個變量。

連桿的首尾端

對于運動鏈中的末端連桿，其參數習慣設定為0,即$a_0$=$a_n$=0，${\alpha }_0$=${\alpha }_n$=0。在本節中，按照上面的規定對關節2到關節n-1的連桿偏距$d_i$和關節角${\theta }_i$，進行了定義。

如果關節1為轉動關節，則${\theta }_i$的零位可以任意選取，并且規定$d_i$=0。同樣，如果關節1為移動關節，則$d_i$的零位可以任意選取，井且規定${\theta }_i$=0。這種規定完全適用于關節n。

之所以采用這樣規定，是因為當一個參數可以任意選取時，把另一個參數設定為0,可以使以后的計算盡可能地簡單。

D-H參數

連桿坐標系

連桿鏈中的中間連桿

通常按照下面的方法確定連桿上的固連坐標系：坐標系{i}的$\hat{Z}$軸稱為${\hat{Z}}_i$ , 并與關節軸i重合，坐標系{i}的原點位于公垂線$a_i$與關節軸i的交點處。${\hat{X}}_i$ 沿$a_i$方向由關節i指向關節i+1。
當$a_i$=0時，${\hat{X}}_i$垂直于$\hat{Z}$和${\hat{Z}}_i$ 所在的平面。 按右手定則繞${\hat{X}}_i$軸的轉角定義為${\alpha }_i$由于${\hat{X}}_i$軸的方向可以有兩種選擇，因此${\alpha }_i$的符號也有兩種選擇。$\hat{Y}$軸由右手定則確定，從而完成了對坐標系{i}的定義。 圖所示為一般操作臂上坐標系{i-1}和{i}的位置。

關節軸相交

連桿鏈中的首尾連桿

固連于機器人基座（即連桿0) 上的坐標系為坐標系{0}。這個坐標系是一個固定不動的坐標系，因此在研究操作臂運動學問題時，可以把該坐標系作為參考坐標系。 可以在這個參考坐標系中描述操作臂所有其他連桿坐標系的位置。
參考坐標系{0}可以任意設定，但是為了使問題簡化，通常設定么軸沿關節軸1的方向， 并且當關節變量1為0時， 設定參考坐標系{0}與坐標系{l}重合。 按照這個規定，總有$a_0$=0和${\alpha }_0$=0。 另外，當關節1為轉動關節時，$d_1$=0，當關節1為移動關節時，${\theta }_1$=0。

建立連桿坐標系的步驟

對于一個新機構，可以按照下面的步驟正確地建立連杅坐標系。

找出各關節軸，井標出（或畫出）這些軸線的延長線。在下面的步驟2至步驟5中，僅考慮兩個相鄰的軸線（關節軸i和i+1)。

找出關節軸i和i+1之間的公垂線或關節軸i和i+1的交點，以關節軸i和i+1的交點或公垂線與關節軸i的交點作為連桿坐標系{i}的原點。

規定${\hat{Z}}_i$軸沿關節軸i的指向。

規定${\hat{X}}_i$軸沿公垂線的指向，如果關節軸i和i+1相交，則規定${\hat{X}}_i$軸垂直于關節軸i和i+1所在的平面。

按照右手定則確定${\hat{Y}}_i$軸。

當第一個關節變最為0時，規定坐標系{0}和{1}重合，對于坐標系{N},其原點和${\hat{X}}_N$的方向可以任意選取。但是在選取時，通常盡量使連桿參數為0。

動力學

連桿變換的推導

一般這個變換是由四個連桿參數構成的函數。對任意給定的機器人，這個變換是只有一個變量的函數，另外三個參數是由機械系統確定的。 通過對每個連桿逐一建立坐標系， 我們把運動學問題分解成n個子問題。 為了求解每個子問題， 即${}_i^{i?1}T$我們將每個子問題再分解成四個次子問題。 四個變換中的每一個變換都是僅有一個連桿參數的函數， 通過觀察能夠很容易寫出它的形式。 首先我們為每個連桿定義三個中間坐標系——{P}, {Q}和{R}。

圖中定義了坐標系{P}、{Q}和{R}。 注意， 為了表示簡潔起見， 在每一個坐標系中僅給出了${\hat{X}}_i$軸${\hat{Z}}_i$軸。 由于旋轉${\alpha }_{i?1}$,因此坐標系{R}與坐標系{i-1}不同；由于位移$a_{i?1}$因此坐標系{Q}與坐標系{R}不同；由于轉角${\theta }_i$， 因此坐標系{P}與坐標系{Q}不同；由于位移$d_i$ , 因此坐標系{i}與坐標系{P}不同。 如果想把在坐標系{i}中定義的矢量變換成在坐標系{i-1}中的描述， 這個變換矩陣可以寫成$${}^{i?1}P{=}_R^{i?1}{T}_Q^R{T}_P^Q{T}_i^P{T}^{i}P$$即$${}^{i?1}P{=}_i^{i?1}{T}^{i}P$$這里$${}^{i?1}T{=}_R^{i?1}{T}_Q^R{T}_P^Q{T}_i^{P}T$$可以寫成$${}^{i?1}T=Scre{w}_x(a_{i?1},{\alpha }_{i?1})Scre{w}_z(d_i,{\theta }_i)$$

連續的連桿變換

把這些連桿變換矩陣連乘就能得到一個坐標 系{N}相對千坐標系{O}的變換矩陣：$${}_N^{0}T{=}_1^0{T}_2^1{T}_3^{2}T..{.}_N^{N?1}T$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的机器人学导论二的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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