機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論三

• 雅克比
• • 雅克比矩陣
  • 瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)
• 微分運(yùn)動(dòng)
• • 線速度
  • 角速度
• 剛體的線速度和角速度
• • 線速度
  • 角速度
• 連桿間的速度傳遞
• 雅克比顯式
• • 求顯式
  • 雅克比在各個(gè)坐標(biāo)系的表達(dá)
• 案例

雅克比

雅克比矩陣

對(duì)向量求導(dǎo)，也就是求q的偏導(dǎo)，左邊是m×1向量，右邊是m×n矩陣乘以n×1向量 = m×1向量,左右相等。求出來的就是雅克比矩陣。

瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)

瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)（Instantaneous kinematics）也是描述從關(guān)節(jié)空間到操作空間的映射，不過“瞬時(shí)”表明它不是描述“靜態(tài)”的位置，而是描述“動(dòng)態(tài)”的速度。$$x=f(q)$$其中，q向量表示關(guān)節(jié)位置，x向量表示end effector的位置和朝向。
當(dāng)我們說“瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)”求解的是從關(guān)節(jié)空間到操作空間的速度映射時(shí)，由于速度描述的是短時(shí)間內(nèi)的位置變化，即位置對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，相信你很自然地會(huì)想到我們需要求解這樣一個(gè)函數(shù)：

現(xiàn)在我們的任務(wù)就是，從“正運(yùn)動(dòng)學(xué)”公式推導(dǎo)出“瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)”公式：

將關(guān)節(jié)空間的速度與操作空間的速度連接起來的，就是由向量求導(dǎo)獲得的雅可比矩陣。現(xiàn)在，讓我們把這個(gè)重要的結(jié)論用數(shù)學(xué)方式表示出來，用J表示向量x對(duì)向量q的導(dǎo)數(shù)：

根據(jù)一開始講的向量求導(dǎo)方法，J是一個(gè)矩陣。這個(gè)矩陣其實(shí)一點(diǎn)也不抽象：如果我們仔細(xì)看它的每一個(gè)元素，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它的第i行第j列表示的物理意義就是當(dāng)?shù)趈個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)，操作空間的第i個(gè)平動(dòng)/轉(zhuǎn)動(dòng)方向會(huì)如何運(yùn)動(dòng)：

下面就來看看雅克比是怎么來的？以及如何求解？需要哪些參數(shù)？

微分運(yùn)動(dòng)

線速度

位置矢量的速度可以看成是用位置矢量描述的空間一點(diǎn)的線速度。在通常的情況下， 速度矢量都是與空間的某點(diǎn)相關(guān)的， 而描述此點(diǎn)速度的大小取決千兩個(gè)坐標(biāo)系： 一個(gè)是進(jìn)行微分運(yùn)算的坐標(biāo)系， 另一個(gè)是描述這個(gè)速度矢量的坐標(biāo)系。

角速度

線速度描述了點(diǎn)的一種屬性， 角速度描述了剛體的一種屬性。 坐標(biāo)系總是固連在被描述的剛體上， 所以可以用角速度來描述坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。${}^A{\Omega }_B$描述了坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo){A}的旋轉(zhuǎn)，實(shí)際上， ${}^A{\Omega }_B$的方向就是{B}相對(duì)對(duì)于{A}的瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)軸，${}^A{\Omega }_B$的大小表示旋轉(zhuǎn)速度。

剛體的線速度和角速度

線速度

把坐標(biāo)系{B}固連在一剛體上，要求描述相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的運(yùn)動(dòng)${}^{B}Q$如圖5所示。這里已經(jīng)認(rèn)為坐標(biāo)系{A}是固定的。坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的位置用位置矢量${}^A{P}_{BORG}$和旋轉(zhuǎn)矩陣${}_B^{A}R$來描述。此時(shí),假定方位${}_B^{A}R$不隨時(shí)間變化,則Q點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的運(yùn)動(dòng)是由${}^A{P}_{BORG}$或${}^{B}Q$隨時(shí)間的變化引起的。求解坐標(biāo)系{A}中Q點(diǎn)的線速度是非常簡(jiǎn)單的。只要寫出坐標(biāo)系{A}中的兩個(gè)速度分量， 求其和為：$${}^A{V}_Q{=}^A{V}_{BORG}{+}_B^A{R}^{B}VQ$$方程只適用于坐標(biāo)系{B}和坐標(biāo)系{A}的相對(duì)方位保持不變的情況。

角速度

兩坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合、相對(duì)線速度為零的情況， 而且它們的原點(diǎn)始終保持重合。其中一個(gè)或這兩個(gè)坐標(biāo)系固連在剛體上。
圖所示為用兩個(gè)瞬時(shí)量表示矢量P繞Ω的旋轉(zhuǎn)。 這是從固定坐標(biāo)系中觀測(cè)到的。

由圖可以計(jì)算出這個(gè)從固定坐標(biāo)系中觀測(cè)到的矢量的方向和大小的變化。第一， 顯然$v_P$的微分增量一定垂直于P和Ω。

第二， 從圖可以看出微分增量的大小為：$$v_P=\Omega \times P$$

書中的例子詳細(xì)講解了角速度的變換

連桿間的速度傳遞

在機(jī)器人連桿運(yùn)動(dòng)的分析中，一般使用連桿坐標(biāo)系{0}作為參考坐標(biāo)系。因此，$v_i$是連桿坐標(biāo)系原點(diǎn){i}的線速度，${\Omega }_i$是連桿坐標(biāo)系{i}的角速度。在任一瞬時(shí)，機(jī)器人的每個(gè)連桿都具有一定的線速度和角速度。

現(xiàn)在討論計(jì)算機(jī)器人連桿線速度和角速度的問題。操作臂是一個(gè)鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，每一個(gè)連桿的運(yùn)動(dòng)都與它的相鄰桿有關(guān)。由千這種結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，我們可以由基坐標(biāo)系依次計(jì)算各連桿的速度。連桿i+1的速度就是連桿i的速度加上那些附加到關(guān)節(jié)i+1上的新的速度分量。

將機(jī)構(gòu)的每一個(gè)連桿看作為一個(gè)剛體，可以用線速度矢量和角速度矢量描述其運(yùn)動(dòng)。進(jìn)一步，我們可以用連桿坐標(biāo)系本身描述這些速度，而不用基坐標(biāo)系。
當(dāng)兩個(gè)Ω矢量都是相對(duì)千同一個(gè)坐標(biāo)系時(shí)，那么這些角速度能夠相加。因此，連桿i+l的 角速度就等于連桿i的角速度加上一個(gè)由千關(guān)節(jié)i+1的角速度引起的分量。參照坐標(biāo)系{i},上 述關(guān)系可寫成：$${}^i{\omega }_{i+1}{=}^i{\omega }_i{+}_{i+1}^{i}R{\dot{\theta }}_{i+1}^{i+1}{\hat{Z}}_{i+1}$$
注意，$${\dot{\theta }}_{i+1}^{i+1}{\hat{Z}}_{i+1}=?\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\dot{\theta }}_{i+1}\end{array}?$$

雅克比顯式

求顯式

利用上面講的內(nèi)容將角速度和線速度進(jìn)行變換，把${}^0{v}_{p3}$和${}^0{\omega }_{p3}$求出

整理可得

由此，可得關(guān)于雅克比矩陣的函數(shù)。

取任意關(guān)節(jié)處的旋轉(zhuǎn)向量${\Omega }_i$

從此關(guān)節(jié)的線速度和角速度求末端執(zhí)行器的角速度和線速度

整理

由此可得雅克比矩陣顯式

雅克比在各個(gè)坐標(biāo)系的表達(dá)

向量表達(dá)：

0坐標(biāo)系表達(dá)：

案例

求DH參數(shù)

求其次變換矩陣



取$Z_i$

John J. Craig《機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論》
斯坦福大學(xué)《機(jī)器人學(xué)講義》
oCCo(古月居)《干貨 | “瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)”——還是從關(guān)節(jié)空間到操作空間（雅可比矩陣上篇）》

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的机器人学导论三的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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