設函數$F(x,y)$在包含$(x_0,y_0)$的一個開集$\Omega$上連續可微，且滿足條件
\begin{equation}
\label{eq:14.17.32}
F(x_0,y_0)=0,\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0,
\end{equation}
則存在以$(x_0,y_0)$為中心的開方塊
\begin{equation}
\label{eq:14.17.39}
D\times E\subset\Omega
\end{equation}
使得對任何一個$x\in D$,恰好存在唯一一個$y\in E$,滿足方程\begin{equation}\label{eq:14.17.41}F(x,y)=0\end{equation}這就是說，方程$F(x,y)=0$確定了一個從$D$到$E$的函數$y=f(x)$.

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證明:我們不妨令$D_1\times E_1\subseteq \Omega$,則$F(x,y)$在$D_1\times?E_1$上連續可微.由于$\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\neq?0$,則$\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)$不是正的就是負的.我們可以選取恰當的$D_1\times E_1$,使得在$D_1\times E_1$內，$F(x,y)$對$y$的偏導數的符號都與$\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)$的符號相同(這是因為$F$在$D_1\times E_1$上連續可微.).現在，假設在$D_1\times E_1$內存在兩點$(x_1,y_1)$和$(x_1,y_2)$,使得$F(x_1,y_1)=0$且$F(x_1,y_2)=0$.則根據拉格朗日中值定理，存在$y'\in (y_1,y_2)$,使得\begin{equation}\label{eq:14.22.46}\frac{\partial F}{\partial y}(x',y')=0\end{equation}這與"$D_1\times E_1$內$F$對$y$的偏導數都不為0"矛盾.

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本文的后續是

《數學分析新講》_張筑生,12.5節:隱函數定理(2)

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轉載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/10/14/3827906.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《数学分析新讲》_张筑生,12.5节:隐函数定理(1)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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