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1 / 94?
數學建模常.模型及其MATLAB等軟件實現
講師：清風

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十大模型，涉及近三十種算法
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為什么錄制這門課程？?
3 / 94?
如何準備數模？

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數學建模的任務分配
數學建模三大塊： 建模+ 編程+ 寫作

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模型講解
5 / 94?
從簡單的例子開始，慢慢的引出模型。
（體驗真正的建模過程）

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編程講解
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不需要MATLAB基礎，先講基礎語法和函數，再講模型的實現（注釋詳細）。

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寫作訓練
7 / 94?
每一講結束后都會有相應的作業供你練習，例如：

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寫作訓練
8 / 94?
每個算法都會配有拓展資料
（看看優秀論文是如何寫作的吧）

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第一講:層次分析法
(The analytic hierarchy process, 簡稱AHP)?
建模比賽中最基礎的模型之一，其主要用于解決
評價類問題（例如：選擇哪種方案最好、哪位運
動員或者員工表現的更優秀）。
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溫馨提示
（1）視頻中提到的所有附件可在售后群的群文件中下載。
包括講義、代碼、軟件安裝包、優秀的作業、我視頻中推薦的資料等。
（2）視頻中或者有講義中發現有錯誤可私戳群主清風反饋。我會將錯誤修改后重新上傳到群文件，?
大家留意文件名稱后面的日期。在線勘誤地址：?
http://note.youdao.com/noteshare?id=66f9dd707874e0428610502b45c074d9?
（3）討論群的群號獲取地址（討論群是付費群，群文件也有大量資料，大家可自愿決定是否入群）?
http://note.youdao.com/noteshare?id=4997251d8219a45d56631e412b1e9392?
（4）更多優質數學建模資料大家可關注我的微店店鋪(微信掃右邊二維
碼進店)和b站網站獲取。
https://space.bilibili.com/52614961?
（5）配套的資源和代碼可發給你的朋友或者隊友一起交流，請不要上傳
到公開的互聯網上，版權歸清風老師所有。
（未經授權將原創資料散播到互聯網的行為是違規的哦）?
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模型介紹
1

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評價類問題可用打分解決
13 / 94?
高考結束了，?
我該選華科還是武大呢？

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評價類問題可用打分解決
14 / 94?
小明最關心大學里面的這四個方面：?
學習氛圍（0.4）?
就業前景（0.3）?
男女比例（0.2）?
校園景色（0.1）?
括號里面的數值表示小明認為的重要性程度（權重），其和為1。
注：本例子僅用于學習，大家可暫時忽略真實情況下應考慮到的更多細節（例如學校中的具體專業）。

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評價類問題可用打分解決
15 / 94?
學習氛圍
注：本例子對涉及到的學校并無惡意，僅用于教學使用
（請觀看到此視頻的華科武大同學別吐槽哦）?
0.7?
0.3

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評價類問題可用打分解決
16 / 94?
就業前景
= = 0.5

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評價類問題可用打分解決
17 / 94?
男女比例
0.3 0.7?
約為1.35:1

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評價類問題可用打分解決
18 / 94?
校園景色
華科玉蘭
VS?
武大櫻花
0.25 0.75

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根據權重表格計算得分
19 / 94?
指標權重華科武大
學習氛圍0.4 0.7 0.3?
就業前景0.3 0.5 0.5?
男女比例0.2 0.3 0.7?
校園景色0.1 0.25 0.75?
小明整理好了這張權重表格：?
華科最終得分：0.515?
0.7 × 0.4 + 0.5 × 0.3 + 0.3 × 0.2 + 0.25 ×0.1?
武大最終得分：0.485?
0.3 × 0.4 + 0.5 × 0.3 + 0.7 × 0.2 + 0.75 ×0.1

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華科最終得分：0.515?
武大最終得分：0.485?
由于華科分數高于武大，小明最終選擇了華科。。。

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一個小小的總結
21 / 94?
使用打分法解決評價問題，只需要我們補充完成下面這張表格即可：?
指標權重方案1 方案2 ……?
指標1?
指標2?
指標3?
……?
指標權重華科武大
學習氛圍0.4 0.7 0.3?
就業前景0.3 0.5 0.5?
男女比例0.2 0.3 0.7?
校園景色0.1 0.25 0.75?
同顏色的單元格的和為1，它們表示的針對某一因素
所占的權重。

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一道引出層次分析法的例題
22 / 94?
填好志愿后，小明同學想出去旅游。在查閱了網上的攻略后，他初步選擇
了蘇杭、北戴河和桂林三地之一作為目標景點。
請你確定評價指標、形成評價體系來為小明同學選擇最佳的方案。

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一道引出層次分析法的例題
23 / 94?
填好志愿后，小明同學想出去旅游。在查閱了網上的攻略后，他初步選擇
了蘇杭、北戴河和桂林三地之一作為目標景點。
請你確定評價指標、形成評價體系來為小明同學選擇最佳的方案。
評價類問題

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一道引出層次分析法的例題
24 / 94?
填好志愿后，小明同學想出去旅游。在查閱了網上的攻略后，他初步選擇
了蘇杭、北戴河和桂林三地之一作為目標景點。
請你確定評價指標、形成評價體系來為小明同學選擇最佳的方案。
評價類問題
解決評價類問題，大家首先要想到以下三個問題：?
① 我們評價的目標是什么？?
② 我們為了達到這個目標有哪幾種可選的方案？?
③ 評價的準則或者說指標是什么？（我們根據什么東西來評價好壞）

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一道引出層次分析法的例題
25 / 94?
填好志愿后，小明同學想出去旅游。在查閱了網上的攻略后，他初步選擇
了蘇杭、北戴河和桂林三地之一作為目標景點。
請你確定評價指標、形成評價體系來為小明同學選擇最合適的方案。
解決評價類問題，大家首先要想到以下三個問題：?
① 我們評價的目標是什么？?
答：為小明同學選擇最佳的旅游景點。
② 我們為了達到這個目標有哪幾種可選的方案？?
答：三種，分別是去蘇杭、去北戴河和去桂林。
③ 評價的準則或者說指標是什么？（我們根據什么東西來評價好壞）?
答：題目沒給相關數據支撐，需要我們確定。

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一道引出層次分析法的例題
26 / 94?
解決評價類問題，大家首先要想到以下三個問題：?
① 我們評價的目標是什么？?
答：為小明同學選擇最佳的旅游景點。
② 我們為了達到這個目標有哪幾種可選的方案？?
答：三種，分別是去蘇杭、去北戴河和去桂林。
③ 評價的準則或者說指標是什么？（我們根據什么東西來評價好壞）?
答：題目沒給相關數據支撐，需要我們查閱相關的資料。
一般而言，前兩個問題的答案是顯而易見的，第三個問題的答案
需要我們根據題目中的背景材料、常識以及網上搜集到的參考資料進
行結合，從中篩選出最合適的指標。

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優先選擇知網（或者萬方、百度學術、谷歌學術等平臺）搜索相關的文獻：

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大學生啦！?
一定要知道知網哦。
為什么優先在別人發表的論文中尋找指標？?
顯得專業
另外，別人研究使用的方法你也可以借鑒

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假如你沒找到相關的文獻怎么辦？?
和小組成員來場頭腦風暴
+?
在平臺上搜索別人或者專家的看法唄

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強烈推薦一個很膩害的網站：?
蟲部落-快搜： https://search.chongbuluo.com/?
優先級：?
. 谷歌搜索（國內進不去的話就使用百度搜索吧）?
. 微信搜索
. 知乎搜索
例如本題我們可以搜索關鍵字：?
旅游選擇因素、根據什么因素選擇旅游景點、旅游景點評價指標等

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假如我們查詢了資料后選擇了以下五個指標：?
①景點景色
②旅游花費
③居住環境
④飲食情況
⑤交通便利程度
填好志愿后，小明同學想出去旅游。在查閱了網上的攻略后，他初步選擇
了蘇杭、北戴河和桂林三地之一作為目標景點。
請你確定評價指標、形成評價體系來為小明同學選擇最佳的方案。

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解決評價類問題，大家首先要想到以下三個問題：?
① 我們評價的目標是什么？?
答：為小明同學選擇最佳的旅游景點。
② 我們為了達到這個目標有哪幾種可選的方案？?
答：三種，分別是去蘇杭、去北戴河和去桂林。
③ 評價的準則或者說指標是什么？（我們根據什么東西來評價好壞）?
答：景色、花費、居住、飲食、交通。
腦洞：假如現在小明就在我們面前，我們要對他提
哪些問題才能幫他合理的做決定？

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還記得這張權重表格嗎？?
33 / 94?
指標權重蘇杭北戴河桂林
景色
花費
居住
飲食
交通

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直接問權重的弊端
34 / 94?
有同學可能會想，直接叫小明填好這張表不就完事啦~?
這樣往往比較片面和不周全
（隔一天問他答案可能就變了）?
在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時，遇到的主要困難
是這些比重常常不易定量化。此外，當影響某因素的因子較多時，直接
考慮各因子對該因素有多大程度的影響時，常常會因考慮不周全、顧此
失彼而使決策者提出與他實際認為的重要性程度不相一致的數據，甚至
有可能提出一組隱含矛盾的數據。
——選自司守奎[kuí]老師的《數學建模算法與應用教材》

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分而治之的思想
35 / 94?
指標權重蘇杭北戴河桂林
景色
花費
居住
飲食
交通
分而治之：我們先來確定指標的權重吧~?
問題：?
一次性考慮這五個指標之間的關系，往往考慮不周。
解決方法：?
兩個兩個指標進行比較，最終根據兩兩比較的結果來推算出權重。

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層次分析法的思想登場
36 / 94?
如果用1-9表示重要程度（見下表），請你兩兩比較上述這五個指標對
于選擇最終的旅游景點的重要性。
標度含義
1 表示兩個因素相比，具有同樣重要性
3 表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素稍微重要
5 表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素明顯重要
7 表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素強烈重要
9 表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數A和B相比如果標度為3，那么B和A相比就是1/3?
（注：這里的重要性有時候解釋為滿意度更方便理解）

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標度含義
1 同樣重要性
3 稍微重要
5 明顯重要
7 強烈重要
9 極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數A和B相比如果標度為3，?
那么B和A相比就是1/3?
景色花費居住飲食交通
景色1?
花費1?
居住1?
飲食1?
交通1?
Q1: 根據右邊這個表，請你比較景色和花費的重要程度。
A1: 我認為花費比景色略微重要(介于同等重要1和稍微重要3之間吧)?
1/2?
Q2: 根據右邊這個表，請你比較景色和居住的重要程度。
A2: 我認為景色比居住要重要一點(介于稍微重要3和明顯重要5之間吧)?
4?
2?
1/4

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景色花費居住飲食交通
景色1 1/2 4 3 3?
花費2 1 7 5 5?
居住1/4 1/7 1 1/2 1/3?
飲食1/3 1/5 2 1 1?
交通1/3 1/5 3 1 1?
就這樣，小明回答了10次【組合數C(5,2) 】，你根據他所回
答的填好了上面這張表。
注：實際情況下沒有小明幫我們回答，層次分析法中這張表是交給‘專家’?
填的，具體我們等后面再說。
標度含義
1 同樣重要性
3 稍微重要
5 明顯重要
7 強烈重要
9 極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數A和B相比如果標度為3，?
那么B和A相比就是1/3

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景色花費居住飲食交通
景色1 1/2 4 3 3?
花費2 1 7 5 5?
居住1/4 1/7 1 1/2 1/3?
飲食1/3 1/5 2 1 1?
交通1/3 1/5 3 1 1?
標度含義
1 同樣重要性
3 稍微重要
5 明顯重要
7 強烈重要
9 極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數A和B相比如果標度為3，?
那么B和A相比就是1/3?
總結：上面這個表是一個5 × 5的方陣，我們記為A，對應的元素為.......?
這個方陣有如下特點：?
（1）......表示的意義是，與指標..相比，..的重要程度。
（2）當.. = ..時，兩個指標相同，因此同等重要記為1，這就解釋了主對角線元素為1。
（3）...... > 0且滿足...... × ...... = 1 （我們稱滿足這一條件的矩陣為正互反矩陣）?
實際上，上面這個矩陣就是層次分析法中的判斷矩陣。

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景色花費居住飲食交通
景色1 1/2 4 3 3?
花費2 1 7 5 5?
居住1/4 1/7 1 1/2 1/3?
飲食1/3 1/5 2 1 1?
交通1/3 1/5 3 1 1?
得到了判斷矩陣，就可以計算出權重了。
具體方法我們稍后再講。

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指標權重蘇杭北戴河桂林
景色
花費
居住
飲食
交通
如何計算蘇杭、北戴河與桂林在景色方面所占的權重（得分）呢？

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填寫判斷矩陣
42 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 5?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/5 1/2 1?
標度含義
1 同樣重要性
3 稍微重要
5 明顯重要
7 強烈重要
9 極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數
A和B相比如果標度為3，?
那么B和A相比就是1/3?
Q1：你覺得蘇杭的風景和北戴河相比如何？?
A1：稍微好一點點吧（介于1-3之間）?
Q2：你覺得蘇杭的風景和桂林相比如何？?
A2：要明顯的好哦（5）?
Q3：你覺得北戴河的風景和桂林相比如何？?
A3：稍微好一點點吧（介于1-3之間）

??
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花費蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 1/3 1/8?
北戴河3 1 1/3?
桂林8 3 1?
居住蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 1 3?
北戴河1 1 3?
桂林1/3 1/3 1?
飲食蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 3 4?
北戴河1/3 1 1?
桂林1/4 1 1?
交通蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 1 1/4?
北戴河1 1 1/4?
桂林4 4 1

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一個有可能出問題的地方：?
44 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 5?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/5 1/2 1?
標度含義
1 同樣重要性
3 稍微重要
5 明顯重要
7 強烈重要
9 極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數A和B相比如果標度為3，?
那么B和A相比就是1/3?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 1?
北戴河1/2 1 2?
桂林1 1/2 1?
蘇杭= A 北戴河= B 桂林= C?
蘇杭比北戴河景色好一點A > B?
蘇杭和桂林景色一樣好A = C?
北戴河比桂林景色好一點B > C?
出現了矛盾之處（不一致的現象）?
（要是把左表中的2換成更大的數，那
么不一致會更加嚴重）

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一致矩陣
45 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 4?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/4 1/2 1?
標度含義
1 同樣重要性
3 稍微重要
5 明顯重要
7 強烈重要
9 極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數A和B相比如果標度為3，?
那么B和A相比就是1/3

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一致矩陣的例子
46 / 94?
景色花費居住飲食交通
景色1 1/2 4 3 3?
花費2 1 8 6 6?
居住1/4 1/8 1 3/4 3/4?
飲食1/3 1/6 4/3 1 1?
交通1/3 1/6 4/3 1 1?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 4?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/4 1/2 1
觀察上面這兩個矩陣的特點：?
各行（各列）之間成倍數關系

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一致矩陣
47 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 5?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/5 1/2 1?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 4?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/4 1/2 1?
若矩陣中每個元素...... > 0且滿足...... × ...... = 1 ，則我們稱該矩陣為正互反矩陣。
在層次分析法中，我們構造的判斷矩陣均是正互反矩陣。
若正互反矩陣滿足...... × ...... = ......，則我們稱其為一致矩陣。
注意：在使用判斷矩陣求權重之前，必須對其進行一致性檢驗。

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一致性檢驗
48 / 94?
原理：檢驗我們構造的判斷矩陣和一致矩陣是否有太大的差別。
下面的知識需要用到線性代數
的知識，沒學過的同學可以忽
略掉證明過程，只需要了解如
何計算即可。

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景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 4?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/4 1/2 1?
景色花費居住飲食交通
景色1 1/2 4 3 3?
花費2 1 8 6 6?
居住1/4 1/8 1 3/4 3/4?
飲食1/3 1/6 4/3 1 1?
交通1/3 1/6 4/3 1 1?
計算可看：EIG_consistent_matrix.m

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若正互反矩陣（判斷矩陣）滿足...... × ...... = ......，則我們稱其為一致矩陣。
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 a?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/a 1/2 1?
a = [1:1:8]?
b = []?
for i = 1:size(a,2)?
A =?
[1,2,a(i);1/2,1,2;1/a(i),1/2,1]?
b = [b,max(eig(A))]?
end?
plot(a,b)?
判斷矩陣越不一致時，最大特征值與n相差就越大。
代碼文件名稱：PPT_1.m

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一致性檢驗的步驟
51 / 94?
第一步：計算一致性指標CI?
第二步：查找對應的平均隨機一致性指標RI?
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15?
RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59?
注：在實際運用中，n很少超過10，如果指標的個數大于10，則可考慮建立二級指標體系
第三步：計算一致性比例CR?
如果CR < 0.1, 則可認為判斷矩陣的一致性可以接受；否則需要對
判斷矩陣進行修正。

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兩個小問題
52 / 94?
（1）平均隨機一致性指標RI怎么計算來的？?
（2）為什么要這樣構造CI，為什么要以0.1為劃分依據？?
大家有興趣的話可以去查看作者的原論文，?
作者是通過多次蒙特卡羅模擬得到的最佳的方案。

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一致矩陣怎么計算權重？?
53 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 4?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/4 1/2 1?
從簡單的開始入手，先來看一致矩陣：?
對于景色這點而言：（注：這里的重要性有時候解釋為滿意度更方便理解）?
蘇杭的重要性如果是1，那么北戴河的重要性就是1/2，桂林的重要性就是1/4.?
注意，權重一定要進行歸一化處理：?
蘇杭= 1 /（1+0.5+0.25）?
北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.25）?
桂林= 0.25 /（1+0.5+0.25）?
標度含義
1 同樣重要性
3 稍微重要
5 明顯重要
7 強烈重要
9 極端重要
2, 4, 6, 8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數A和B相比如果標度為3，?
那么B和A相比就是1/3

??
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判斷矩陣計算權重
54 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 5?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/5 1/2 1?
僅使用第一列的數據，計算出來的權重：?
蘇杭= 1 /（1+0.5+0.2）= 0.5882?
北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.2）= 0.2941?
桂林= 0.2 /（1+0.5+0.2）= 0.1177

??
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判斷矩陣計算權重
55 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 5?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/5 1/2 1?
僅使用第一列的數據，計算出來的權重：?
蘇杭= 1 /（1+0.5+0.2）= 0.5882?
北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.2）= 0.2941?
桂林= 0.2 /（1+0.5+0.2）= 0.1177?
使用第二列的數據，計算出來的權重：?
蘇杭= 2 /（2+1+0.5）= 0.5714?
北戴河= 1 /（2+1+0.5）= 0.2857?
桂林= 0.5 /（2+1+0.5）= 0.1429?
使用第三列的數據，計算出來的權重：?
蘇杭= 5 /（5+2+1）= 0.625?
北戴河= 2 /（5+2+1）= 0.25?
桂林= 1 /（5+2+1）= 0.125

??
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方法1：算術平均法求權重
56 / 94?
僅使用第一列的數據，計算出來的權重：?
蘇杭= 1 /（1+0.5+0.2）= 0.5882?
北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.2）= 0.2941?
桂林= 0.2 /（1+0.5+0.2）= 0.1177?
使用第二列的數據，計算出來的權重：?
蘇杭= 2 /（2+1+0.5）= 0.5714?
北戴河= 1 /（2+1+0.5）= 0.2857?
桂林= 0.5 /（2+1+0.5）= 0.1429?
使用第三列的數據，計算出來的權重：?
蘇杭= 5 /（5+2+1）= 0.625?
北戴河= 2 /（5+2+1）= 0.25?
桂林= 1 /（5+2+1）= 0.125?
綜合上述三列，我們求平均權重：?
蘇杭= (0.5882+0.5714+0.625)/3=0.5949?
北戴河= (0.2941+0.2857+0.25)/3=0.2766?
桂林= (0.1177+0.1429+0.125)/3=0.1285

??
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方法1：算術平均法求權重
57 / 94?
第一步：將判斷矩陣按照列歸一化
（每一個元素除以其所在列的和）?
第二步：將歸一化的各列相加(按行求和)?
第三步：將相加后得到的向量中每個元素除以n即可得到權重向量
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 5?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/5 1/2 1?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭0.5882 0.5714 0.625?
北戴河0.2941 0.2857 0.25?
桂林0.1177 0.1429 0.125?
未歸一化的權重
蘇杭0.5882+0.5714+0.625 = 1.7846?
北戴河0.2941+0.2857+0.25=0.8298?
桂林0.1177+0.1429+0.125=0.3856?
權重
蘇杭1.7846 / 3 = 0.5949?
北戴河0.8298 / 3 = 0.2766?
桂林0.3856 / 3 = 0.1285

??
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方法1：算術平均法求權重
58 / 94?
第一步：將判斷矩陣按照列歸一化
（每一個元素除以其所在列的和）?
第二步：將歸一化的各列相加(按行求和)?
第三步：將相加后得到的向量中每個元素除以n即可得到權重向量

??
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方法2：幾何平均法求權重
59 / 94?
幾何平均法求權重也有三步：?
第一步：將A的元素按照行相乘得到一個新的列向量
第二步：將新的向量的每個分量開n次方
第三步：對該列向量進行歸一化即可得到權重向量
算術平均法權重幾何平均法權重
蘇杭0.5949 0.5954?
北戴河0.2766 0.2764?
桂林0.1285 0.1283?
注： 權重和應為1，這里由于四舍五入所以會有可以忽略的差距。

??
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方法3：特征值法求權重
60 / 94?
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 4?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/4 1/2 1?
注意，權重一定要進行歸一化處理：?
蘇杭= 1 /（1+0.5+0.25）?
北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.25）?
桂林= 0.25 /（1+0.5+0.25）

??
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方法3：特征值法求權重
61 / 94?
假如我們的判斷矩陣一致性可以接受，那么我們可以仿照一致矩陣權重的求法。
第一步：求出矩陣A的最大特征值以及其對應的特征向量
第二步：對求出的特征向量進行歸一化即可得到我們的權重
景色蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 2 5?
北戴河1/2 1 2?
桂林1/5 1/2 1?
最大特征值為3.0055 , 一致性比例CR = 0.0053?
對應的特征向量：[-0.8902,-0.4132,-0.1918]?
對其歸一化：[0.5954,0.2764,0.1283]?
算術平均法幾何平均法特征值法
蘇杭0.5949 0.5954 0.5954?
北戴河0.2766 0.2764 0.2764?
桂林0.1285 0.1283 0.1283

??
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將計算結果填入權重表
62 / 94?
指標權重蘇杭北戴河桂林
景色0.5954 0.2764 0.1283?
花費
居住
飲食
交通
算術平均法幾何平均法特征值法
蘇杭0.5949 0.5954 0.5954?
北戴河0.2766 0.2764 0.2764?
桂林0.1285 0.1283 0.1283

??
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代碼演示（具體代碼詳講在視頻后半段）?
63 / 94?
景色花費居住飲食交通
景色1 1/2 4 3 3?
花費2 1 7 5 5?
居住1/4 1/7 1 1/2 1/3?
飲食1/3 1/5 2 1 1?
交通1/3 1/5 3 1 1?
算術平均法幾何平均法特征值法
景色0.2623 0.2636 0.2636?
花費0.4744 0.4773 0.4758?
居住0.0545 0.0531 0.0538?
飲食0.0985 0.0988 0.0981?
交通0.1103 0.1072 0.1087?
求左邊這個判斷矩陣的權重
代碼文件名稱：ccfx.m

??
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指標權重蘇杭北戴河桂林
景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283?
花費0.4758?
居住0.0538?
飲食0.0981?
交通0.1087?
算術平均法幾何平均法特征值法
景色0.2623 0.2636 0.2636?
花費0.4744 0.4773 0.4758?
居住0.0545 0.0531 0.0538?
飲食0.0985 0.0988 0.0981?
交通0.1103 0.1072 0.1087

??
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花費蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 1/3 1/8?
北戴河3 1 1/3?
桂林8 3 1?
居住蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 1 3?
北戴河1 1 3?
桂林1/3 1/3 1?
飲食蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 3 4?
北戴河1/3 1 1?
桂林1/4 1 1?
交通蘇杭北戴河桂林
蘇杭1 1 1/4?
北戴河1 1 1/4?
桂林4 4 1

??
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匯總結果得到權重矩陣
66 / 94?
指標權重蘇杭北戴河桂林
景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283?
花費0.4758 0.0819 0.2363 0.6817?
居住0.0538 0.4286 0.4286 0.1429?
飲食0.0981 0.6337 0.1919 0.1744?
交通0.1087 0.1667 0.1667 0.6667?
我們可以得到使用特征值法求得的權重矩陣，根據此矩陣，?
我們可以計算出每個旅游景點的得分。

??
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計算各方案的得分
67 / 94?
指標權重蘇杭北戴河桂林
景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283?
花費0.4758 0.0819 0.2363 0.6817?
居住0.0538 0.4286 0.4286 0.1429?
飲食0.0981 0.6337 0.1919 0.1744?
交通0.1087 0.1667 0.1667 0.6667?
蘇杭得分：

??
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類似的，我們可以得到北戴河得分為0.245，?
桂林得分為0.455.?
因此最佳的旅游景點是桂林。
這里用EXCEL計算可大大減輕工作量哦。
文件：根據權重矩陣計算得分.xlsx?
要點： F4可以鎖定單元格

??
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層次分析法
69 / 94?
層次分析法（The Analytic Hierarchy Process即AHP)是由美國運籌學家、
匹茲堡大學教授T . L. Saaty于20世紀70年代創立的一種系統分析與決策的綜合
評價方法，是在充分研究了人類思維過程的基礎上提出來的，它較合理地解
決了定性問題定量化的處理過程。
AHP的主要特點是通過建立遞階層次結構，把人類的判斷轉化到若干因
素兩兩之間重要度的比較上，從而把難于量化的定性判斷轉化為可操作的重
要度的比較上面。在許多情況下，決策者可以直接使用AHP進行決策，極大
地提高了決策的有效性、可靠性和可行性，但其本質是一種思維方式，它把
復雜問題分解成多個組成因素，又將這些因素按支配關系分別形成遞階層次
結構，通過兩兩比較的方法確定決策方案相對重要度的總排序。整個過程體
現了人類決策思維的基本特征，即分解、判斷、綜合，克服了其他方法回避
決策者主觀判斷的缺點。

??
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三個問題對我們的啟發
70 / 94?
填好志愿后，小明同學想出去旅游。在查閱了網上的攻略后，他初步選擇
了蘇杭、北戴河和桂林三地之一作為目標景點。
請你確定評價指標、形成評價體系來為小明同學選擇最佳的方案。
解決評價類問題，大家首先要想到以下三個問題：?
① 我們評價的目標是什么？?
答：為小明同學選擇最佳的旅游景點。
② 我們為了達到這個目標有哪幾種可選的方案？?
答：三種，分別是去蘇杭、去北戴河和去桂林。
③ 評價的準則或者說指標是什么？（我們根據什么東西來評價好壞）?
答：景色、花費、居住、飲食、交通。

??
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層次分析法第一步
71 / 94?
1.分析系統中各因素之間的關系，建立系統的遞階層次結構.?
選擇旅游地
(O)?
景色（C1） 花費（C2) 居住（C3) 飲食（C4) 交通（C5)?
蘇杭（P1） 北戴河（P2） 桂林（P3）?
目標層
Objective?
準則層
Criterion?
方案層
Plan?
圖1.1.旅游地選擇層次結構圖
注意：如果你用到了層次分析法，那么這個層次結構圖要放在你的建模論文中哦。

??
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使用SmartArt生成
72 / 94?
選擇最佳旅游地(O)?
景色（C1）?
花費（C2)?
居住（C3)?
飲食（C4)?
交通（C5)?
蘇杭（P1）?
北戴河（P2）?
去桂林（P3）

??
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使用專業軟件：億圖圖示
73 / 94?
簡單演示：?
（1）新建組織結構圖——自定義組織結構圖
（2）1個長方形方格，并復制出8個和它同大小的長方形
（3）將這9個長方形排成3行（1+5+3）?
（4）使用對齊和分布這兩個功能讓它們排列的有序
（5）選擇文本工具，在這些長方形里面輸入文字
（6）使用箭頭連接線工具中的直線連接上這些長方形
（7）保存后選擇文件——導出&發送——Word?
（8）將Word中的圖像復制到你的論文中即可，別忘了加上標題。

??
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層次分析法第二步
74 / 94?
2. 對于同一層次的各元素關于上一層次中某一準則的重要
性進行兩兩比較，構造兩兩比較矩陣（判斷矩陣）。
選擇旅游地
(O)?
景色（C1） 花費（C2) 居住（C3) 飲食（C4) 交通（C5)?
蘇杭（P1） 北戴河（P2） 桂林（P3）?
目標層
Objective?
準則層
Criterion?
方案層
Plan

??
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構造判斷矩陣
75 / 94?
O C1 C2 C3 C4 C5?
C1 1 1/2 4 3 3?
C2 2 1 7 5 5?
C3 1/4 1/7 1 1/2 1/3?
C4 1/3 1/5 2 1 1?
C5 1/3 1/5 3 1 1?
左邊這個矩陣的名稱是：?
判斷矩陣O — C?
任何評價類模型都具有主觀性：?
理想：采用專家群體判斷
現實：幾乎都是自己填的

??
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看看優秀論文的做法吧
76 / 94?
【2008年國賽B題一等獎】關于高等教育學費標準的評價及建議

??
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看看優秀論文的做法吧
77 / 94?
[2016年國賽MATLAB創新獎B題]中國人民大學-小區開放道路通行影響

??
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C1 P1 P2 P3?
P1 1 2 4?
P2 1/2 1 2?
P3 1/4 1/2 1?
C2 P1 P2 P3?
P1 1 1/3 1/8?
P2 3 1 1/3?
P3 8 3 1?
C3 P1 P2 P3?
P1 1 1 3?
P2 1 1 3?
P3 1/3 1/3 1?
C4 P1 P2 P3?
P1 1 3 4?
P2 1/3 1 1?
P3 1/4 1 1?
C5 P1 P2 P3?
P1 1 1 1/4?
P2 1 1 1/4?
P3 4 4 1?
判斷矩陣C1-P 判斷矩陣C2-P 判斷矩陣C3-P 判斷矩陣C4-P 判斷矩陣C5-P?
準則層—方案層的判斷矩陣的數值要結合實際來填寫，如果題目中有其他數據，?
可以考慮利用這些數據進行計算。
例如：有一個指標是交通安全程度，現在要比較開放小區、半開放小區和封閉小區，而且
你收集到了這些小區車流量的數據，那么就可以根據這個數據進行換算作為你的判斷矩陣。

??
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層次分析法第三步
79 / 94?
3. 由判斷矩陣計算被比較元素對于該準則的相對權重，?
并進行一致性檢驗（檢驗通過權重才能用）.?
三種方法計算權重：?
（1）算術平均法（2）幾何平均法（3）特征值法
強烈建議大家在比賽時三種方法都使用：?
以往的論文利用層次分析法解決實際問題時，都是采用其中某一種方法
求權重，而不同的計算方法可能會導致結果有所偏差。為了保證結果的
穩健性，本文采用了三種方法分別求出了權重，再根據得到的權重矩陣
計算各方案的得分，并進行排序和綜合分析，這樣避免了采用單一方法
所產生的偏差，得出的結論將更全面、更有效。

??
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一致性檢驗的步驟
80 / 94?
第一步：計算一致性指標CI?
第二步：查找對應的平均隨機一致性指標RI?
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15?
RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59?
注：在實際運用中，n很少超過10，如果指標的個數大于10，則可考慮建立二級指標體系
第三步：計算一致性比例CR?
如果CR < 0.1, 則可認為判斷矩陣的一致性可以接受；否則需要對
判斷矩陣進行修正。

??
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CR > 0.1 如何修正？?
81 / 94?
景色蘇杭A 北戴河B 桂林C?
蘇杭A 1 2 1?
北戴河B 1/2 1 2?
桂林C 1 1/2 1?
往一致矩陣上調整~~~?
一致矩陣各行成倍數關系

??
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層次分析法第四步
82 / 94?
4 . 計算各層元素對系統目標的合成權重，并進行排序。
指標權重方案1 方案2 ……?
指標1?
指標2?
指標3?
……?
權重矩陣
指標權重蘇杭北戴河桂林
景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283?
花費0.4758 0.0819 0.2363 0.6817?
居住0.0538 0.4286 0.4286 0.1429?
飲食0.0981 0.6337 0.1919 0.1744?
交通0.1087 0.1667 0.1667 0.6667

??
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層次分析法的一些局限性
83 / 94?
（1）評價的決策層不能太多，太多的話n會很大，判斷矩陣和一致矩陣差異
可能會很大。
平均隨機一致性指標RI的表格中n最多是15。
（2）如果決策層中指標的數據是已知的，那么我們如何利用這些數據來使得
評價的更加準確呢？?
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15?
RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59?
學生加權成績工時數課外競賽得分
蔣虹89.7 32 5?
時迎春86.5 20 4?
…… …… …… ……?
陶訪楓87.9 12 9?
梁冷安90.1 10 6?
姜秀芳82.6 12 3

??
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代碼詳解
2

??
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溫馨提示
代碼講解部分針對的是Matlab新手哦~?
如果你Matlab已經學的很不錯，可以跳
過這部分哦，直接看代碼即可。
文件：ccfx_base.m和ccfx_Learn

??
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本節代碼部分知識點索引
86 / 94?
1. Matlab基本的小常識
分號的作用、注釋的快捷鍵、clc和clear、disp和input?
2. sum函數
3. Matlab中如何提取矩陣中指定位置的元素？?
4. size函數
5. repmat函數
6. Matlab中矩陣的運算(加點和不加點)?
7. Matlab中求特征值和特征向量
8. find函數的基本用法
9. 矩陣與常數的大小判斷運算
10. 判斷和循環語句

??
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模型拓展
3

??
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??
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企業資金分配問題.pdf

??
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層次分析法在太陽鏡產品質量評價中的應用.pdf

??
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課后練習
4

??
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課后訓練
92 / 94?
代碼優化：?
（1）請對代碼進行優化，例如輸入判斷矩陣A時，是否能自動檢查
矩陣A是否為正互反矩陣？?
（2）如果我們輸入的是一個二階的判斷矩陣，請觀察結果有什么問
題？怎么改進代碼來修正這個問題。
論文寫作訓練：?
題目來源：姜啟元《數學建模》第四版
也可以自選題目，你感興趣的評價類問題都行。

??
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注意事項
93 / 94?
注意：論文的格式可參考：全國大學生數學建模競賽論文模板.doc?
層次分析法模型交流群：821245457?
加群需要正確回答問題，層次分析法的英文縮寫：AHP?
課件、代碼以及拓展的文檔等全部會發到群文件，?
請大家自己下載學習。
作業大家打包后私發給群主（清風）即可。
（交了作業的同學我有時間會幫你們看的哦
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下一講預告：TOPSIS法
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題目：評價下表中20條河流的水質情況。
注：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；細菌總數越少越好；植物性營養物量介于10-20之間最佳，超
過20或低于10均不好。
注：數據是我隨手編的，僅用于講解相應的算法，可能有不合理之處，請見諒。
河流含氧量（ppm) PH值細菌總數(個/mL) 植物性營養物量（ppm)?
A 4.69 6.59 51 11.94?
B 2.03 7.86 19 6.46?
C 9.11 6.31 46 8.91?
D 8.61 7.05 46 26.43?
E 7.13 6.5 50 23.57?
F 2.39 6.77 38 24.62?
G 7.69 6.79 38 6.01?
H 9.3 6.81 27 31.57?
I 5.45 7.62 5 18.46?
J 6.19 7.27 17 7.51?
K 7.93 7.53 9 6.52?
L 4.4 7.28 17 25.3?
M 7.46 8.24 23 14.42?
N 2.01 5.55 47 26.31?
O 2.04 6.4 23 17.91?
P 7.73 6.14 52 15.72?
Q 6.35 7.58 25 29.46?
R 8.29 8.41 39 12.02?
S 3.54 7.27 54 3.16?
T 7.44 6.26 8 28.41

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清風老師數學建模視頻課程第1講層次分析法

總結

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