目錄

• • 一.Malthus模型（指數模型）
  • • （1）提出以及假設
    • （2）影響人口增長的因素
    • （3）建立模型
    • （4）結論
    • （5）舉例（Matlab代碼）
  • 二.Logistic模型（阻滯增長模型）
  • • （1）背景
    • （2）建立 r 的關系式
    • （3）模型建立
    • （4）結論
    • （5）舉例（Matlab代碼）
  • 三.總結

一.Malthus模型（指數模型）

（1）提出以及假設

指數增長模型，由馬爾薩斯在1798年提出

基本假設：人口（相對）增長率r是常數（r很小）
相對增長率 = 出生率 － 死亡率

（2）影響人口增長的因素

人口的基數
出生率和死亡率
年齡結構
性別比例
工農業生產水平
醫療水平
政府出臺的政策
民族政策
…

（3）建立模型

我們用 x(t) 表示 t 時刻的人口

那么有 $$x(t+△t)?x(t)=rx(t)△t$$ (其中x為人口基數)

所以 $$\frac{(x(t+△t)?x(t))}{△t}=rx(t)$$

根據高數知識，求得 $$\frac{dx}{dt}=rx,x(0)=x_0$$

求得：$$x(t)=x_0{e}^{rt}$$

結論：隨著時間的增加，人口按指數規律無限增長

（4）結論

可以進行短期的人口預測，較為符合
但是之后誤差就很大了

（5）舉例（Matlab代碼）

eg：已知一組數據如下：

t = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900];
p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0];
t為年份，p為對應的人口數量，單位為：百萬

因為馬爾薩斯模型為指數函數為了線性擬合數據，我們對其進行如下操作：

兩邊同時取對數：

可得：$$ln(x)=ln(x_0)+rt$$

t = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900]; p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0]; y = log(p); %求ln(p)函數值 a = polyfit(t,y,1) %用一次多項式對t和y進行擬合 z = polyval(a,t); %求得以a為系數的多項式在t處的函數值 z1 = exp(z) r = a(1) plot(t,p,'bo',t,z1,'r') %分別畫出散點圖以及擬合曲線圖 xlabel('時間'); ylabel('人口數量'); legend('實際數據','理論曲線');

作圖如下（短期內基本吻合）：

輸出結果如下：

%結果如下，增長率r=0.0274 a =0.0274 -47.6717z1 =列 1 至 54.1884 5.5105 7.2498 9.5382 12.5488列 6 至 1016.5097 21.7209 28.5769 37.5969 49.4640列 11 至 1265.0769 85.6179r =0.0274

$當我們用更多的數據進行長期擬合是就會發現該方法做出來的差別較大！$

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二.Logistic模型（阻滯增長模型）

（1）背景

由于人口不可能無限制的增長，當人口達到一定數量后，那么增長率就會下降。
我們要模擬這種增長率的變化
這里簡化的將增長率 r 看做是人口 x 的減函數

（2）建立 r 的關系式

假設$r(x)=r?sx(r,s>0)$ 當x很小時，r仍為固有增長率，s為待求系數

x_m 是當前環境可以容納的最大人口容量

$$r(x_m)=0??>s=\frac{r}{x_m}??>r(x)=r(1?\frac{x}{x_m})$$

（3）模型建立

指數增長模型：$$\frac{dx}{dt}=rx$$

所以 $$\frac{dx}{dt}=r(x)x=rx(1?\frac{x}{x_m})$$

最終得到：$$x(t)=\frac{x_m}{(1+(\frac{x_m}{x_0}?1)e^{?rt})}$$

（4）結論

最終得到 s 型增長曲線，x增長先快后慢，最終接近峰值 x_m

該模型同樣可以用于種群數量中（魚群的捕撈要控制在 x_m/2 附近，而害蟲的防治要遠遠低于 x_m / 2）

（5）舉例（Matlab代碼）

已知一組數據同上：
t = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900];
p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0];
t為年份，p為對應的人口數量，單位為：百萬

$我們使用非線性擬合法來計算參數r以及x_m$

下面代碼由兩個文件構成：

$?$ 主函數文件（腳本文件）

%代碼如下 t = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990]; p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4]; t = t-1780; %整體減去1780 x0 = [150,0.15]; %待定參數x的初值（自己根據實際情況給出初值，之后再不斷調整；其中第一個參數為最大人口數，第二個參數為人口增長率） x = lsqcurvefit('population',x0,t,p) %使用函數求得最終的（xm，r） p1 = population(x,t); plot(t+1780,p,'o',t+1780,p1,'-r*') title('Logistic模型擬合圖') xlabel('年'); ylabel('人口數'); legend('實際數據','理論數據')

$?$ 函數m文件(注意文件名稱與函數名稱相同)

%population.m函數文件 function g = population(x,t) %UNTITLED2 此處顯示有關此函數的摘要 % 此處顯示詳細說明 g = x(1)./(1+(x(1)/3.9-1)*exp(-x(2)*t)); %這里的公式代入的是3.9，也就是初始數據，根據自己的初值進行修改 end

如圖所示兩個文件：

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$作圖如下：$

$結果如下：$

%第一個參數為 Xm，第二個參數為 r x =337.4308 0.0257

三.總結

Malthus 和 Logistic 均為宏觀模型，它們考慮的方面比較少。而且不考慮年齡分布。

以下的微觀模型考慮年齡結構
$?$ Leslie差分方程模型
$?$ Verhulst偏微分方程模型
$?$ Pollard隨機方程模型

總結

以上是生活随笔為你收集整理的人口模型（Malthus+Logistic）附Matlab代码的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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