LQR全稱為Linear Quadratic Regulator，即線性二次型調(diào)節(jié)器。

（一）有限時域最優(yōu)調(diào)節(jié)器設(shè)計

設(shè)線性系統(tǒng)被控對象的離散化狀態(tài)方程為：

初始條件。

給定二次型性能指標(biāo)函數(shù)：

LQR的任務(wù)是尋求最優(yōu)控制序列，在把系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到的過程中，使性能指標(biāo)函數(shù)最小。

求解二次型最優(yōu)控制問題可采用變分法、動態(tài)規(guī)劃法等方法，這里采用離散動態(tài)規(guī)劃法來求解。

動態(tài)規(guī)劃的基本思想是：將一個多級決策過程轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼?span style="color:#f33b45;">多個單級決策優(yōu)化問題，這里需要決策的是控制變量。

令二次型性能指標(biāo)函數(shù)：

其中，。

下面從最后一級往前逐級求解最優(yōu)控制序列。

由上式可得：

首先求解，使得最小。令：

解得：

式中，

同時可以得到：

式中，

依次可求得。

綜上，計算的公式歸納如下：

式中。

最優(yōu)性能指標(biāo)為：

滿足上式的最優(yōu)控制一定存在且是唯一的。

（二）無限時域最優(yōu)調(diào)節(jié)器設(shè)計

設(shè)線性系統(tǒng)被控對象的離散化狀態(tài)方程為：

初始條件。

當(dāng)時，性能指標(biāo)函數(shù)簡化為：

其中Q是非負(fù)定對稱矩陣，R是正定對稱矩陣，假定系統(tǒng)[A,B]能控和能觀，設(shè)P(k)是如下黎卡提（Riccati）方程的解：

那么，下列結(jié)論成立：

• 對于任意非負(fù)定對稱矩陣，存在，且是與無關(guān)的常數(shù)矩陣。
• P是如下黎卡提（Riccati）方程的唯一正定解。

? ? ??

• 穩(wěn)態(tài)控制律

? ? ??

? ? ? ? 是使上面性能指標(biāo)函數(shù)極小的最優(yōu)反饋控制律，最優(yōu)性能指標(biāo)函數(shù)為：

? ? ? ??

• 所求得的最優(yōu)控制律使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

當(dāng)終端時間時，矩陣趨于某個常數(shù)矩陣，因此反饋矩陣也為常數(shù)矩陣，便于工程實(shí)現(xiàn)。

?

附錄? 同濟(jì)大學(xué)《線性代數(shù)》中關(guān)于正定和負(fù)定的定義及相關(guān)說明

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的LQR控制律设计的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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