????????在上篇中，我們詳細地闡述了全局莫蘭指數(Global Moran’I)的含義以及具體的軟件實操方法。今天，就來進一步地說明局部莫蘭指數(Local Moran’I)的含義與計算。

????????首先說明一下進行局部相關分析的必要性：

在全局相關分析中，如果全局莫蘭指數顯著，我們即可認為在該區域上存在空間相關性。但是，我們還是不知道具體在哪兒些地方存在著空間聚集現象。這個時候就需要局部莫蘭指數參與幫助說明。

即使全局莫蘭指數為0，在局部上也不一定就沒有空間聚集現象！(上篇博客中，學生的成績的例子足以說明，在此不再贅述）

目錄

• • • • 一、公式說明
      • 二、Moran'I散點圖
      • 三、LISA聚集圖

一、公式說明

????????還是先從公式入手進行理解，相比全局莫蘭指數，局部莫蘭指數的計算方式要簡潔許多，其計算方式如下：
$$I_i=\frac{Z_i}{S^2}\sum _{j=i}^n{w}_{ij}{Z}_j$$
????????其中，$Z_i=y_i?\bar{y}$，$Z_j=y_j?\bar{y}$，$S^2=\frac{1}{n}\sum (y_i?\bar{y}{)}^2$，$w_{ij}$為空間權重值，$n$為研究區域上所有地區的總數，$I_i$則代表第$i$個地區的局部莫蘭指數。為了方便理解，這里的$y_{i(j)}$還是代表第$i(j)$地區的人均GDP，并將求和號展開（$S^2$總是正的，相當于只是對整個式子進行標準化而已，故這里省略了）：
$$I_i=(y_i?\bar{y})[w_{i1}(y_1?\bar{y})+w_{i2}(y_2?\bar{y})+...w_{i(i?1)}(y_{i?1}?\bar{y})+w_{i(i+1)}(y_{i+1}?\bar{y})+...+w_{in}(y_n?\bar{y})]$$

????????從上式不難看出，$I_i$的正負取決于$y_i?\bar{y}$和后面那一坨。前者可反映出第$i$個地區的經濟發展水平與整個區域的平均水平之間的高低情況，后者則反映出第$i$個地區的周邊地區與整個區域水平之間的高低情況。兩個式子都有高低兩種可能性，兩兩組合，共有四種情況。

以表格的方式呈現如下：

$Z_i$$\sum _{j=i}^n{w}_{ij}{Z}_j$$I_i$含義

>0	>0	>0	第i個地區經濟發展水平高，周邊地區發展水平高
<0	<0	>0	第i個地區經濟發展水平低，周邊地區發展水平低
<0	>0	<0	第i個地區經濟發展水平低，周邊地區發展水平高
>0	<0	<0	第i個地區經濟發展水平高，周邊地區發展水平低

關于局部莫蘭指數的范圍問題在此進行說明：
大部分文獻中指出的莫蘭指數都是全局莫蘭指數，它的范圍是-1到1，而局部莫蘭指數的范圍是沒有限制的！詳細可參考王慶喜的《區域經濟研究實用方法:基于Arcgis,Geoda和R運用》，如下圖所示：

二、Moran’I散點圖

當然，將上表內容以可視化的方式呈現，就得到了Moran’I散點圖。以$Z_i$為x軸，$\sum _{j=i}^n{w}_{ij}{Z}_j$為y軸，將平面區域劃分為四個象限，如下圖所示：

這里還是以2018年人均GDP為基礎數據，利用Geoda進行局部相關分析。操作過程如下：
導入空間權重矩陣——空間分析——單變量局部Moran’I分析

選擇PGDP2018后，彈出以下對話框，這里我們先選擇Moran散點圖

細心地小伙伴可能會發現，下面這張圖和全局莫蘭指數得到的圖是一樣的！(emm.上面的那個moran’I 是全局莫蘭指數，下面這些散點的橫縱坐標的乘積就是各個區縣的局部莫蘭指數。相當于，一張圖涵蓋了兩種指數的信息。

????????簡單對這張圖分析一下：從局部相關的角度來看，第一、三象限的點明顯多于第二、四象限的點，即表示"低—低"型和"高—高"型聚集的區縣較"高—低"型、"低—高"型的區縣更多。更簡單地來說，即經濟較低(高)的區縣在空間上更易聚集。從差異的角度來看，若"低—低"型和"高—高"型區縣數量多，即說明此時的空間差異較小。（類比，你胖，周圍人也胖，是不是你就胖的不明顯啦

順便提一下，既然全局莫蘭指數和局部莫蘭指數都稱莫蘭指數，兩者肯定是有關系的，數學公式表達如下：
$$I=\frac{\sum _i{I}_i}{S_0\frac{\sum _i{Z}_i}{n}}$$

更多詳細的內容，有興趣的小伙伴可參考：
Anselin L . Local Indicators of Spatial Association—LISA[J]. Geographical analysis, 1995, 27(2):93-115.

三、LISA聚集圖

說到這兒，好像還沒說局部莫蘭指數怎么檢驗吧！其實，檢驗方法一樣還是利用Z檢驗：
$$Z_i=\frac{I_i?E(I_i)}{\sqrt{var(I_i)}}$$
其實，上面那個moran’I散點圖并沒有對各個區縣的局部莫蘭指數進行檢驗，LISA聚集圖在就在給定的顯著性水平下，對于那些通過顯著性檢驗的區縣以地圖的方式呈現出來，繪制的LISA聚集圖如下：

左圖為重慶市區縣經濟發展水平LISA聚集圖,右圖為行政區地圖

Geoda就這一點不好，沒法將區縣名顯示在LISA聚集圖上。(有該需要的可以用Arcgis實現

從上圖不難看出，重慶市經濟發展水平較高的都聚集在渝西南地區，經濟水平較低的大多聚集在渝東北地區，少部分聚集在渝東南地區，此外，"高-低"型和"低-高"型聚集區縣并沒有呈現出來。(若想更全面地展現經濟水平聚集情況，光是人均GDP這一個指標肯定是遠遠不夠的)

以上就是本次分享的全部內容~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的空间相关分析(三) 局部莫兰指数的理解与计算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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