題目描述

為了更好的備戰NOIP2013，電腦組的幾個女孩子LYQ,ZSC,ZHQ認為，我們不光需要機房，我們還需要運動，于是就決定找校長申請一塊電腦組的課余運動場地，聽說她們都是電腦組的高手，校長沒有馬上答應他們，而是先給她們出了一道數學題，并且告訴她們：你們能獲得的運動場地的面積就是你們能找到的這個最大的數字。

校長先給他們一個N*N矩陣。要求矩陣中最大加權矩形，即矩陣的每一個元素都有一權值，權值定義在整數集上。從中找一矩形，矩形大小無限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩陣的每個元素屬于[-127,127],例如

0 –2 –7 0
9 2 –6 2
-4 1 –4 1
-1 8 0 –2
在左下角：

9 2
-4 1
-1 8
和為15。

幾個女孩子有點犯難了，于是就找到了電腦組精打細算的HZH，TZY小朋友幫忙計算，但是遺憾的是他們的答案都不一樣，涉及土地的事情我們可不能含糊，你能幫忙計算出校長所給的矩形中加權和最大的矩形嗎？

輸入格式

第一行：n，接下來是n行n列的矩陣。

輸出格式

最大矩形（子矩陣）的和。

輸入輸出樣例
輸入 #1 復制
4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
輸出 #1 復制
15

說明/提示

n<=120

分析：

第一種做法：

設a[i][j]是每個元素的權值，d[i][j]是以（1，1）為左上角，（i，j）為右下角的矩形的元素權值之和。
d[i][j]=d[i][j-1]+d[i-1][j]-d[i-1][j-1]+a[i][j]
矩形中某一個以（p，k）為左上角，（i，j）為右下角的矩形的權值之和為d[i][j]-d[k-1][j]-d[i][p-1]+d[k-1][p-1]。
可以四層循環找到最大加權矩形。

第二種做法：

假設最終找到的權值之和最大的矩陣的行數為x，那么列舉x的可能性。比如一個3*3的矩陣，x可能是1，2，3。
當x=1時，就相當于普通的最大子段和，有三種可能，可能是第一行，第二行或者第三行。
當x=2時，則把兩行的每列的值相加，轉換成一行，做普通的最大子段和，有二種可能，可能是第一行和第二行或者第二行和第三行。
當x=3使，則把三行的每列的值相加，轉換成一行，做普通的最大子段和，只有一種可能，是第一行和第二行和第三行。
求出每列的前綴和，這樣后續求l-r行的每列的和就比較方便。

第一種做法的代碼：

#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int N = 120+10; const int mod = 10007; int a[N][N],d[N][N]; int main() {int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){scanf("%d",&a[i][j]);d[i][j]=d[i][j-1]+d[i-1][j]-d[i-1][j-1]+a[i][j];}}int mx=0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){for(int k=1;k<i;k++){for(int p=1;p<j;p++){if(d[i][j]-d[k-1][j]-d[i][p-1]+d[k-1][p-1]>mx) mx=d[i][j]-d[k-1][j]-d[i][p-1]+d[k-1][p-1];}}}}printf("%d",mx);return 0; }

第二種做法的代碼：

#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int N = 120+10; const int mod = 10007; int a[N][N],b[N][N],dp[N]; int main() {int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){scanf("%d",&a[i][j]);b[i][j]+=b[i-1][j]+a[i][j];//每列的前綴和 }}int mx=0,x;/*for(int i=1;i<=n;i++) {for(int j=1;j<=n-i+1;j++){memset(dp,0,sizeof(dp));for(int k=1;k<=n;k++) //最大子段和的一種寫法 {x=b[j+i-1][k]-b[j-1][k];dp[k]=max(dp[k-1]+x,x);mx=max(dp[k],mx);}}}*/for(int i=1;i<=n;i++) //枚舉最大權值之和的矩陣的可能的行數 {for(int j=1;j<=n-i+1;j++)//設定j是矩陣的第一行 {int sum=0;for(int k=1;k<=n;k++) //最大子段和的一種寫法 {x=b[j+i-1][k]-b[j-1][k];//j行-j+i-1行的第k列的權值之和 sum+=x;if(sum<0) sum=0;mx=max(mx,sum);}}}printf("%d",mx);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的洛谷 P1719 最大加权矩形 （前缀和，动态规划）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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