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计划评审方法和关键路线法【PERT/CPM、统筹方法】

發(fā)布時(shí)間：2023/12/14 编程问答 31 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了计划评审方法和关键路线法【PERT/CPM、统筹方法】小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

【1】圖與網(wǎng)絡(luò)模型及方法：圖與網(wǎng)絡(luò)的基本概念

【2】圖&網(wǎng)絡(luò)模型應(yīng)用—最短路徑問(wèn)題

【3】樹(shù)：基本概念與最小生成樹(shù)

【4】匹配問(wèn)題：匈牙利算法、最優(yōu)指派、相等子圖

【5】Euler 圖和 Hamilton 圖

【6】計(jì)劃評(píng)審方法和關(guān)鍵路線法【統(tǒng)籌方法】：廣泛地用于系統(tǒng)分析和項(xiàng) 目管理

【7】最小費(fèi)用流及其求法：

【8】最大流問(wèn)題??

【10】鋼管訂購(gòu)和運(yùn)輸問(wèn)題

1 計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖

1.1 計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖的概念? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??1.2 建立計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖應(yīng)注意的問(wèn)題

2 時(shí)間參數(shù)

2.1 事件時(shí)間參數(shù)? ? ? ? ? ? ?

（1）事件的最早時(shí)間? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）事件的最遲時(shí)間

2.2 工作的時(shí)間參數(shù)?

（1）工作的最早可能開(kāi)工時(shí)間與工作的最早可能完工時(shí)間

（2）工作的最遲必須開(kāi)工時(shí)間與工作的最遲必須完工時(shí)間

2.3 時(shí)差

（1）工作的總時(shí)差? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）工作的單時(shí)差

3 計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖的計(jì)算

3.1 建立計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??3.2 寫(xiě)出相應(yīng)的規(guī)劃問(wèn)題

3.3 問(wèn)題求解? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??3.4 將關(guān)鍵路線看成最長(zhǎng)路

4 關(guān)鍵路線與計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化

4.1 計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的數(shù)學(xué)表達(dá)式? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4.2 計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的求解

5 完成作業(yè)期望和實(shí)現(xiàn)事件的概率

計(jì)劃評(píng)審方法（program evaluation and review technique, PERT）和關(guān)鍵路線法（critical path method, CPM）是網(wǎng)絡(luò)分析的重要組成部分，它廣泛地用于系統(tǒng)分析和項(xiàng) 目管理。計(jì)劃評(píng)審與關(guān)鍵路線方法是在 20 世紀(jì) 50 年代提出并發(fā)展起來(lái)的，1956 年，美國(guó)杜邦公司為了協(xié)調(diào)企業(yè)不同業(yè)務(wù)部門(mén)的系統(tǒng)規(guī)劃，提出了關(guān)鍵路線法。1958 年，美國(guó)海軍武裝部在研制“北極星”導(dǎo)彈計(jì)劃時(shí)，由于導(dǎo)彈的研制系統(tǒng)過(guò)于龐大、復(fù)雜，為找到一種有效的管理方法，設(shè)計(jì)了計(jì)劃評(píng)審方法。由于 PERT 與 CPM 既有著相同的目標(biāo)應(yīng)用，又有很多相同的術(shù)語(yǔ)，這兩種方法已合并為一種方法，在國(guó)外稱(chēng)為 PERT/CPM，在國(guó)內(nèi)稱(chēng)為統(tǒng)籌方法（scheduling method）。

1 計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖

例 20?某項(xiàng)目工程由 11 項(xiàng)作業(yè)組成（分別用代號(hào) A, B,...., J , K 表示），其計(jì)劃完成時(shí)間及作業(yè)間相互關(guān)系如表 9 所示，求完成該項(xiàng)目的最短時(shí)間。

例 20 就是計(jì)劃評(píng)審方法或關(guān)鍵路線法需要解決的問(wèn)題。

1.1 計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖的概念

【定義】稱(chēng)任何消耗時(shí)間或資源的行動(dòng)稱(chēng)為作業(yè)。稱(chēng)作業(yè)的開(kāi)始或結(jié)束為事件，事件本身不消耗資源。在計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖中通常用圓圈表示事件，用箭線表示工作，如圖 9 所示，1，2，3 表示事件， A, B 表示作業(yè)。由這種方法畫(huà)出的網(wǎng)絡(luò)圖稱(chēng)為計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖。

? ? ? ? ? ? ? ? ? 虛工作用虛箭線“”表示。它表示工時(shí)為零，不消耗任何資源的虛構(gòu)工作。其作用只是為了正確表示工作的前行后繼關(guān)系。定義在計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖中，稱(chēng)從初始事件到最終事件的由各項(xiàng)工作連貫組成的一條路為路線。具有累計(jì)作業(yè)時(shí)間最長(zhǎng)的路線稱(chēng)為關(guān)鍵路線。 ?

由此看來(lái)，例 20 就是求相應(yīng)的計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖中的關(guān)鍵路線。

1.2 建立計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖應(yīng)注意的問(wèn)題

（1）任何作業(yè)在網(wǎng)絡(luò)中用唯一的箭線表示，任何作業(yè)其終點(diǎn)事件的編號(hào)必須大于其起點(diǎn)事件。

（2）兩個(gè)事件之間只能畫(huà)一條箭線，表示一項(xiàng)作業(yè)。對(duì)于具有相同開(kāi)始和結(jié)束事件的兩項(xiàng)以上的作業(yè)，要引進(jìn)虛事件和虛作業(yè)。

（3）任何計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖應(yīng)有唯一的最初事件和唯一的最終事件。

（4）計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖不允許出現(xiàn)回路。

（5）計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖的畫(huà)法一般是從左到右，從上到下，盡量作到清晰美觀，避免箭頭交叉。

2 時(shí)間參數(shù)

2.1 事件時(shí)間參數(shù)

（1）事件的最早時(shí)間

事件 j 的最早時(shí)間用表示，它表明以它為始點(diǎn)的各工作最早可能開(kāi)始的時(shí) 間，也表示以它為終點(diǎn)的各工作的最早可能完成時(shí)間，它等于從始點(diǎn)事件到該事件的最長(zhǎng)路線上所有工作的工時(shí)總和。事件最早時(shí)間可用下列遞推公式，按照事件編號(hào)從小到大的順序逐個(gè)計(jì)算。

設(shè)事件編號(hào)為1,2,..., n ，則

其中?是與事件 j 相鄰的各緊前事件的最早時(shí)間，t(i, j) 是作業(yè)(i, j) 所需的工時(shí)。終點(diǎn)事件的最早時(shí)間顯然就是整個(gè)工程的總最早完工期，即

?= 總最早完工期 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

（2）事件的最遲時(shí)間

事件i 的最遲時(shí)間用表示，它表明在不影響任務(wù)總工期條件下，以它為始點(diǎn) 的工作的最遲必須開(kāi)始時(shí)間，或以它為終點(diǎn)的各工作的最遲必須完成時(shí)間。由于一般情況下，我們都把任務(wù)的最早完工時(shí)間作為任務(wù)的總工期，所以事件最遲時(shí)間的計(jì)算公式為：

其中是與事件i 相鄰的各緊后事件的最遲時(shí)間。

公式（8）也是遞推公式，但與（6）相反，是從終點(diǎn)事件開(kāi)始，按編號(hào)由大至小的順序逐個(gè)由后向前計(jì)算。

2.2 工作的時(shí)間參數(shù)

（1）工作的最早可能開(kāi)工時(shí)間與工作的最早可能完工時(shí)間

一個(gè)工作(i, j) 的最早可能開(kāi)工時(shí)間用?表示。任何一件工作都必須在其所有緊前工作全部完工后才能開(kāi)始。

工作(i, j) 的最早可能完工時(shí)間用?表示。它表示工作按最早開(kāi)工時(shí)間開(kāi)始所能達(dá)到的完工時(shí)間。它們的計(jì)算公式為：

這組公式也是遞推公式。即所有從總開(kāi)工事件出發(fā)的工作(1, j)，其最早可能開(kāi)工時(shí)間為零；任一工作(i, j) 的最早開(kāi)工時(shí)間要由它的所有緊前工作(k,i) 的最早開(kāi)工時(shí)間決定；工作(i, j) 的最早完工時(shí)間顯然等于其最早開(kāi)工時(shí)間與工時(shí)之和。

（2）工作的最遲必須開(kāi)工時(shí)間與工作的最遲必須完工時(shí)間

一個(gè)工作(i, j) 的最遲開(kāi)工時(shí)間用??? 表示。它表示工作(i, j) 在不影響整個(gè)任務(wù)如期完成的前提下，必須開(kāi)始的最晚時(shí)間。

工作(i, j) 的最遲必須完工時(shí)間用表示。它表示工作(i, j) 按最遲時(shí)間開(kāi) 工，所能達(dá)到的完工時(shí)間。它們的計(jì)算公式為：

這組公式是按工作的最遲必須開(kāi)工時(shí)間由終點(diǎn)向始點(diǎn)逐個(gè)遞推的公式。凡是進(jìn)入總完工事件 n 的工作(i, n) ，其最遲完工時(shí)間必須等于預(yù)定總工期或等于這個(gè)工作的最早可能完工時(shí)間。任一工作(i, j) 的最遲必須開(kāi)工時(shí)間由它的所有緊后工作( j, k) 的最遲開(kāi)工時(shí)間確定。而工作(i, j) 的最遲完工時(shí)間顯然等于本工作的最遲開(kāi)工時(shí)間與工時(shí) 的和。

由于任一個(gè)事件i （除去始點(diǎn)事件和終點(diǎn)事件），既表示某些工作的開(kāi)始又表示某些工作的結(jié)束。所以從事件與工作的關(guān)系考慮，用公式（9），公式（10）求得的有關(guān)工作的時(shí)間參數(shù)也可以通過(guò)事件的時(shí)間參數(shù)公式（6），公式（8）來(lái)計(jì)算。如工作(i, j) 的最早可能開(kāi)工時(shí)間?就等于事件i 的最早時(shí)間。工作(i, j) 的最遲必須完工時(shí)間等于事件 j 的最遲時(shí)間。

2.3 時(shí)差

工作的時(shí)差又叫工作的機(jī)動(dòng)時(shí)間或富裕時(shí)間，常用的時(shí)差有兩種。

（1）工作的總時(shí)差

在不影響任務(wù)總工期的條件下，某工作(i, j) 可以延遲其開(kāi)工時(shí)間的最大幅度，叫做該工作的總時(shí)差，用 R(i, j) 表示。其計(jì)算公式為：

即工作(i, j) 的總時(shí)差等于它的最遲完工時(shí)間與最早完工時(shí)間的差。顯然 R(i, j) 也等于該工作的最遲開(kāi)工時(shí)間與最早開(kāi)工時(shí)間之差。

（2）工作的單時(shí)差

工作的單時(shí)差是指在不影響緊后工作的最早開(kāi)工時(shí)間條件下，此工作可以延遲其開(kāi)工時(shí)間的最大幅度，用 r(i, j) 表示。其計(jì)算公式為：

即單時(shí)差等于其緊后工作的最早開(kāi)工時(shí)間與本工作的最早完工時(shí)間之差。

3 計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖的計(jì)算

以例 20 的求解過(guò)程為例介紹計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖的計(jì)算方法。

3.1 建立計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖

首先建立計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖。按照上述規(guī)則，建立例 20 的計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖，如圖 10 所示。

3.2 寫(xiě)出相應(yīng)的規(guī)劃問(wèn)題

3.3 問(wèn)題求解

用 LINGO 軟件求解例 20。編寫(xiě) LINGO 程序如下：

model: sets: events/1..8/:x; operate(events,events)/1 2,1 3,1 4,2 5,3 4,3 5,4 6,5 6, 5 7,5 8,6 7,6 8,7 8/:t; endsets data: t=5 10 11 4 4 0 15 21 25 35 0 20 15; enddata min=x(8)-x(1); @for(operate(i,j):x(j)>x(i)+t(i,j)); end

計(jì)算結(jié)果給出了各個(gè)項(xiàng)目的開(kāi)工時(shí)間，如 ?x1 = 0 ，則作業(yè) A, B,C 的開(kāi)工時(shí)間均是第 0 天； ?x2 = ?5，作業(yè) E 的開(kāi)工時(shí)間是第 5 天； x3 = 10，則作業(yè) D 的開(kāi)工時(shí)間是第 10 天；等等。每個(gè)作業(yè)只要按規(guī)定的時(shí)間開(kāi)工，整個(gè)項(xiàng)目的最短工期為 51 天。

盡管上述 LINGO 程序給出相應(yīng)的開(kāi)工時(shí)間和整個(gè)項(xiàng)目的最短工期，但統(tǒng)籌方法中許多有用的信息并沒(méi)有得到，如項(xiàng)目的關(guān)鍵路徑、每個(gè)作業(yè)的最早開(kāi)工時(shí)間、最遲開(kāi)工時(shí)間等。

例 21（續(xù)例 20）求例 20 中每個(gè)作業(yè)的最早開(kāi)工時(shí)間、最遲開(kāi)工時(shí)間和作業(yè)的關(guān) 鍵路徑。

編寫(xiě) LINGO 程序如下：

model: sets: events/1..8/:x,z; operate(events,events)/1 2,1 3,1 4,2 5,3 4,3 5,4 6,5 6, 5 7,5 8,6 7,6 8,7 8/:s,t,m,c,y; endsets data: t=5 10 11 4 4 0 15 21 25 35 0 20 15; m=5 8 8 3 4 0 15 16 22 30 0 16 12; c=0 700 400 450 0 0 0 600 300 500 0 500 400; d=49; @text(txt2.txt)=x,z; enddata min=mincost+sumx; mincost=@sum(operate:c*y); sumx=@sum(events:x); @for(operate(i,j):s(i,j)=x(j)-x(i)+y(i,j)-t(i,j)); n=@size(events); x(1)=0; x(n)<d; @for(operate:@bnd(0,y,t-m)); z(n)=x(n); @for(events(i)|i#lt#n:z(i)=@min(operate(i,j):z(j)-t(i,j)+y(i,j))); end

最遲開(kāi)工時(shí)間的分析需要用到松弛變量 sij ，當(dāng) sij > 0時(shí)，說(shuō)明還有剩余時(shí)間，對(duì) 應(yīng)作業(yè)的工期可以推遲 sij 。例如，s78 = 1，作業(yè)（7，8）（ J ）的開(kāi)工時(shí)間可以推遲 1 天，即開(kāi)工時(shí)間為 36。再如 s46 = 2 ，作業(yè)（4，6）（ F ）可以推遲 2 天開(kāi)始， 3 s14 = ，作業(yè)（1，4）（C ）可以推遲 3 天開(kāi)始，但由于作業(yè)（4，6）（ F ）已能夠推遲 2 天，所以，作業(yè)（1，4）（C ）最多可推遲 5 天。由此，可以得到所有作業(yè)的最早開(kāi)工時(shí)間和最遲開(kāi)工時(shí)間，如下表所示，方括號(hào) 中第 1 個(gè)數(shù)字是最早開(kāi)工時(shí)間，第 2 個(gè)數(shù)字是最遲開(kāi)工時(shí)間。

從上表可以看出，當(dāng)最早開(kāi)工時(shí)間與最遲開(kāi)工時(shí)間相同時(shí)，對(duì)應(yīng)的作業(yè)在關(guān)鍵路線上，因此可以畫(huà)出計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖中的關(guān)鍵路線，如圖 11 粗線所示。關(guān)鍵路線為 1→3→ 5→6→8。

3.4 將關(guān)鍵路線看成最長(zhǎng)路

如果將關(guān)鍵路線看成最長(zhǎng)路，則可以按照求最短路的方法（將求極小改為求極大）求出關(guān)鍵路線。

例 22 用最長(zhǎng)路的方法，求解例 20。 ?按上述數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題寫(xiě)出相應(yīng)的 LINGO 程序。

model: sets: events/1..8/:d; operate(events,events)/1 2,1 3,1 4,2 5,3 4,3 5,4 6,5 6, 5 7,5 8,6 7,6 8,7 8/:t,x; endsets data: t=5 10 11 4 4 0 15 21 25 35 0 20 15; d=1 0 0 0 0 0 0 -1; enddata max=@sum(operate:t*x); @for(events(i):@sum(operate(i,j):x(i,j))-@sum(operate(j,i):x(j,i))=d(i)); end

求得工期需要 51 天，關(guān)鍵路線為 1→3→5→6→8。

4 關(guān)鍵路線與計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化

例 23（關(guān)鍵路線與計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化）假設(shè)例 20 中所列的工程要求在 49 天內(nèi)完成。為提前完成工程，有些作業(yè)需要加快進(jìn)度，縮短工期，而加快進(jìn)度需要額外增加費(fèi)用。下表列出例 20 中可縮短工期的所有作業(yè)和縮短一天工期額外增加的費(fèi)用。現(xiàn)在的問(wèn)題是，如何安排作業(yè)才能使額外增加的總費(fèi)用最少。

例 23 所涉及的問(wèn)題就是計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化問(wèn)題，這時(shí)需要壓縮關(guān)鍵路徑來(lái)減少最短工期。

4.1 計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的數(shù)學(xué)表達(dá)式

4.2 計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的求解

用 LINGO 軟件求解例 23，程序如下：

model: sets: events/1..8/:x; operate(events,events)/1 2,1 3,1 4,2 5,3 4,3 5,4 6,5 6, 5 7,5 8,6 7,6 8,7 8/:t,m,c,y; endsets data: t=5 10 11 4 4 0 15 21 25 35 0 20 15; m=5 8 8 3 4 0 15 16 22 30 0 16 12; c=0 700 400 450 0 0 0 600 300 500 0 500 400; d=49; enddata min=@sum(operate:c*y); @for(operate(i,j):x(j)-x(i)+y(i,j)>t(i,j)); n=@size(events); x(n)-x(1)<d; @for(operate:@bnd(0,y,t-m)); end

作業(yè)(1,3)(B) 壓縮 1 天的工期，作業(yè)(6,8)(K) 壓縮 1 天工期，這樣可以在 49 天完工，需要多花費(fèi) 1200 元。如果需要知道壓縮工期后的關(guān)鍵路徑，則需要稍復(fù)雜一點(diǎn)的計(jì)算。

例 24 （續(xù)例 23）用 LINGO 軟件求解例 23，并求出相應(yīng)的關(guān)鍵路徑、各作業(yè)的最早開(kāi)工時(shí)間和最遲開(kāi)工時(shí)間。解為了得到作業(yè)的最早開(kāi)工時(shí)間，仍在目標(biāo)函數(shù)中加入 ?，記 zi 表示事件i 的最遲開(kāi)工時(shí)間，其它處理方法與前面相同。寫(xiě)出相應(yīng)的 LINGO 程序如下：

計(jì)算出所有作業(yè)的最早開(kāi)工時(shí)間和最遲開(kāi)工時(shí)間，見(jiàn)表 12。

當(dāng)最早開(kāi)工時(shí)間與最遲開(kāi)工時(shí)間相同時(shí)，對(duì)應(yīng)的作業(yè)就在關(guān)鍵路線上，圖 12 中的粗線表示優(yōu)化后的關(guān)鍵路線。從圖 5-10 可以看到，關(guān)鍵路線不止一條。

5 完成作業(yè)期望和實(shí)現(xiàn)事件的概率

在例 20 中，每項(xiàng)作業(yè)完成的時(shí)間均看成固定的，但在實(shí)際應(yīng)用中，每一工作的完成會(huì)受到一些意外因素的干擾，一般不可能是完全確定的，往往只能憑借經(jīng)驗(yàn)和過(guò)去完成類(lèi)似工作需要的時(shí)間進(jìn)行估計(jì)。通常情況下，對(duì)完成一項(xiàng)作業(yè)可以給出三個(gè)時(shí)間上的估計(jì)值：最樂(lè)觀值的估計(jì)值（ a ），最悲觀的估計(jì)值（b ）和最可能的估計(jì)值（ m ）。

設(shè) ?是完成作業(yè)(i, j) 的實(shí)際時(shí)間（是一隨機(jī)變量），通常用下面的方法計(jì)算相應(yīng) 的數(shù)學(xué)期望和方差。

例 25 已知例 20 中各項(xiàng)作業(yè)完成的三個(gè)估計(jì)時(shí)間如下表所示。如果規(guī)定時(shí)間為 52 天，求在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成全部作業(yè)的概率。進(jìn)一步，如果完成全部作業(yè)的概率大于等于 95％，那么工期至少需要多少天？

解對(duì)于這個(gè)問(wèn)題采用最長(zhǎng)路的編寫(xiě)方法。按公式（13）和公式（14）計(jì)算出各作業(yè)的期望值與方差，再由期望時(shí)間計(jì)算出關(guān) 鍵路線。從而由公式（16）和公式（17）得到關(guān)鍵路線的期望與方差的估計(jì)值，再利用分布函數(shù)@psn(x)，計(jì)算出完成作業(yè)的概率與完成整個(gè)項(xiàng)目的時(shí)間。寫(xiě)出相應(yīng)的 LINGO 程序如下：

model: sets: events/1..8/:d; operate(events,events)/1 2,1 3,1 4,2 5,3 4,3 5,4 6,5 6, 5 7,5 8,6 7,6 8,7 8/:a,m,b,et,dt,x; endsets data: a=3 8 8 3 2 0 8 18 18 26 0 11 12; m= 5 9 11 4 4 0 16 20 25 33 0 21 15; b=7 16 14 5 6 0 18 28 32 52 0 25 18; d=1 0 0 0 0 0 0 -1; limit=52; enddata @for(operate:et=(a+4*m+b)/6;dt=(b-a)^2/36); max=tbar; tbar=@sum(operate:et*x); @for(events(i):@sum(operate(i,j):x(i,j))-@sum(operate(j,i):x(j,i))=d(i)); s^2=@sum(operate:dt*x); p=@psn((limit-tbar)/s); @psn((days-tbar)/s)=0.95; end

求得關(guān)鍵路線的時(shí)間期望為 51 天，標(biāo)準(zhǔn)差為 3.16，在 52 天完成全部作業(yè)的概率為 62.4%，如果完成全部作業(yè)的概率大于等于 95％，那么工期至少需要 56.2 天。