如何求矩陣的逆矩陣 - 叮叮當當sunny - 博客園

求逆矩陣最有效的方法是初等變換法（雖然還有別的方法）。如果要求方陣?AA?的逆矩陣，標準的做法是：

• 將矩陣?AA?與單位矩陣?II?排成一個新的矩陣?(AI)(AI)
• 將此新矩陣?(AI)(AI)?做初等行變換，將它化成?(IB)(IB)?的形式
• B=A?1B=A?1

若?AA?是一個二階方陣

A=(acbd)A=(abcd)

則它的逆矩陣可以直接使用公式

A?1=1ad?bc(d?c?ba)A?1=1ad?bc(d?b?ca)

來計算。我們來看幾個例子。

例1：求二階矩陣

A=(8564)A=(8654)

的逆矩陣。

解：因為矩陣是二階矩陣，我們可以直接利用二階逆矩陣的公式來求解。

A?1=18?4?6?5(4?5?68)=12(4?5?68)=(2?52?34)A?1=18?4?6?5(4?6?58)=12(4?6?58)=(2?3?524)

例2：求矩陣

A=???1?3201?3?244???A=(10?2?3142?34)

的逆矩陣。

解：這是一個三階的矩陣，最簡便有效的方法是初等變換法。（你可以試試用伴隨矩陣的方法來求，計算量比初等變換法相差多大）我們將矩陣與單位矩陣排在一起，然后做初等變換

(AI)=?????1?3201?3?244???100010001?????～?????10001?3?2?28???13?2010001?????～?????100010?2?22???137013001?????～?????100010002???8107343111?????～??????100010001???8107234321112??????(AI)=(10?2?100?314?0102?34?001)～(10?2?10001?2?3100?38??201)～(10?2?10001?2?310002?731)～(100?831010?1041002?731)～(100?831010?1041001?723212)

所以我們得到

A?1=???8107234321112???A?1=(8311041723212)

我們看到的這個矩陣是三階的，利用初等變換計算逆矩陣已經比伴隨矩陣法少了很多的計算量了。實際上，矩陣的階數越高，節約下來的計算量越多。利用伴隨矩陣計算逆矩陣，三階矩陣的話，需要計算一個三階行列式，九個二階行列式。四階的話，需要計算一個四階行列式，十六個三階行列式，手算的話，已經讓人難以接受了。

我們來看一個四階矩陣的逆矩陣。

例3：求矩陣

A=?????12112310311?242?1?6?????A=(12342312111?110?2?6)

的逆矩陣。

解：我們將下述矩陣做初等變換

(AI)=?????????12112310311?242?1?6????1000010000100001?????????～?????????12110312?2113?62?14????0001010000101000?????????～?????????10000312?2535?614510????0001010000101?2?1?1?????????～?????????10000132?2355?651410????0001001001001?1?2?1?????????～?????????10000100?23?4?1?65?10????0001001001?3?21?111?????????～?????????10000100?23?1?4?650?1????0010000101?2?31?111?????????～?????????10000100?23?10?650?1????001?4000101?251?11?3?????????～?????????10000100?23?10000?1????24?201?4?6501?3026?2519?161?3?????????～?????????1000010000?10000?1????22?171?4?6501?2620?2517?131?3?????????～?????????1000010000100001????22?17?14?650?1?26202?517?13?13?????????(AI)=(1234?10002312?0100111?1?001010?2?6?0001)～(10?2?6?00012312?0100111?1?00101234?1000)～(10?2?6?000103514?010?20135?001?102510?100?1)～(10?2?6?00010135?001?103514?010?202510?100?1)～(10?2?6?00010135?001?100?4?1?01?3100?10?10?21)～(10?2?6?00010135?001?100?10?10?2100?4?1?01?31)～(10?2?6?00010135?001?100?10?10?21000?1??415?3)～(10?20?24?6?30190130??20526?1600?10?10?21000?1??415?3)～(1000?22?6?26170100??17520?1300?10?10?21000?1??415?3)～(1000?22?6?26170100??17520?130010??102?10001?4?1?53)

所以，我們得到

A?1=?????22?17?14?650?1?26202?517?13?13?????

總結

以上是生活随笔為你收集整理的如何求矩阵的逆矩阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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