開心的小明

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小明今天很開心，家里購置的新房就要領鑰匙了，新房里有一間他自己專用的很寬敞的房間。更讓他高興的是，媽媽昨天對他說：“你的房間需要購買哪些物品，怎么布置，你說了算，只要不超過N 元錢就行”。今天一早小明就開始做預算，但是他想買的東西太多了，肯定會超過媽媽限定的N 元。于是，他把每件物品規定了一個重要度，分為5 等：用整數1~5 表示，第5 等最重要。他還從因特網上查到了每件物品的價格（都是整數元）。他希望在不超過N 元（可以等于N 元）的前提下，使每件物品的價格與重要度的乘積的總和最大。設第j 件物品的價格為v[j]，重要度為w[j]，共選中了k 件物品，編號依次為j1...jk，則所求的總和為：v[j1]*w[j1]+..+v[jk]*w[jk]請你幫助金明設計一個滿足要求的購物單. 輸入

第一行輸入一個整數N(0<N<=101)表示測試數據組數
每組測試數據輸入的第1 行，為兩個正整數，用一個空格隔開：
N m
（其中N（<30000）表示總錢數，m(<25)為希望購買物品的個數。）
從第2 行到第m+1 行，第j 行給出了編號為j-1
的物品的基本數據，每行有2 個非負整數
v p
（其中v 表示該物品的價格（v≤10000），p 表示該物品的重要度（1~5））

輸出

每組測試數據輸出只有一個正整數，為不超過總錢數的物品的價格與重要度乘積的總和的
最大值（<100000000）

樣例輸入

1 1000 5 800 2 400 5 300 5 400 3 200 2

這道題是可以用典型的0-1背包問題來解決，也就是說對于每個物品要么買要么不買，但是要滿足錢的總數不能超過指定值。 剛開始想的是建立如下的二維表，然后逐步填表，用dp[i][j]來表示從第i個物品到第j個物品的不超過最大錢數情況下的重要度和價值乘積的總和。二維表對角線的元素表示僅選擇當前物品的情況。但是dp[i][j]的值卻難以表示，如果第j個元素可以加入的話則可以表示為dp[i][j]=dp[i][j-1]+v[j]*w[j]； 如果第j個元素不可以加入的話，則首先要考慮能否替換掉以前的某個物品。如果可以的話，則還要對以前的物品進行回溯處理，太難。如果不可以的話則直接dp[i][j]=dp[i][j-1].總體來講這種二維表填寫的方式太復雜，不可行。 后來又嘗試了另外的一種動態規劃的狀態轉移方程： for (i = m; i>= 1; i--)for (j = n; j >= v[i]; j--)dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + v[i]*w[i]);代碼將每個價格作為填表對象。從1到30000每個開始填。第一層for循環的意思是： 每一個物品可以被那些價格包含，如果包含(就是可以購買)的話就將起價值度改寫，檔處理第二個物品時，如果可以加入的話(j>=v[i])就在dp[j-v[i]]的基礎上再加上該物品的價值度。

總結

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