MATLAB是一個很強大的軟件，在自動控制領域也是使用非常廣泛，本系列博文將基于控制系統仿真進行，參考書籍《MATLAB/Simulink與控制系統仿真》，該系列博文與筆者的自動控制理論(考研篇)互為補充，詳細理論知識點請各位移步自動控制理論(考研篇)系列博客。

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8.復數和復變函數之拉普拉斯變換及反變換和Z變換及反變換

8.1 拉普拉斯變換及反變換

采用符號運算工具箱進行拉氏變換和反變換，采用laplace和ilaplace，使用syms函數定義符號變量；

符號變量定義函數syms格式1：syms arg1 arg2 …，定義arg1,arg2等；

符號變量定義函數syms格式2：arg1=sym(‘arg1’);arg2=sym(‘arg2’);…；

符號變量定義函數syms格式3：syms arg1 arg2…datatype，其中datatype是變量的數據類型，可以是實型(real)、整型(positive)、非整型(unreal)等；

拉氏變換函數格式：L=laplace(F)，F是時域函數表達式，約定的自變量是t，得到拉氏變換函數是L(s)；

拉氏反變換函數格式：F=ilaplace(L)，將L拉氏函數變換為時域函數F；

注：讀者需要移步筆者的自動控制原理(考研篇)查閱拉氏變換相關知識，或自行查閱拉氏變換相關知識，在此只是說明如何通過MATLAB這個工具去實現拉氏變換及拉氏反變換。

實戰1：求函數$f_1(t)=e^{at}(a$為實數$)$、$f_2(t)=t?\sin t$的拉氏變換。

% 實戰環境：MATLAB 2020b % Tips：以下均由MATLAB驗證>> syms t s a; % 創建符號變量； >> f1=exp(a*t);f2=t-sin(t); % 定義函數 >> L1=laplace(f1);L2=laplace(f2); % 進行拉氏變換 >> L1,L2L1 = -1/(a - s)L2 = 1/s^2 - 1/(s^2 + 1)

實戰2：求函數$F_1(s)=\frac{1}{s(1+s^2)}、F_2(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}$的拉氏反變換。

% 實戰環境：MATLAB 2020b % Tips：以下均由MATLAB驗證% Tips：需要把t定義上，而不是單定義符號變量s >> syms t s; % 定義符號變量 >> F1=1/(s*(1+s^2)); % 定義函數 >> F2=(s+3)/((s+1)*(s+2)); >> f1=ilaplace(F1);f2=ilaplace(F2); % 進行拉氏反變換 >> f1,f2 f1 = 1 - cos(t)f2 = 2*exp(-t) - exp(-2*t)

8.2 Z變換及其反變換

注：讀者需要移步筆者的自動控制原理(考研篇)查閱Z變換相關知識，或自行查閱Z變換相關知識，在此只是說明如何通過MATLAB這個工具去實現Z變換及Z反變換。

MATLAB中實現Z變換和反變換的函數：ztrans和iztrans；

ztrans函數格式：

F=ztrans(f)：函數返回獨立變量n關于符號向量f的Z變換函數： ztrans(f)$?$F(z)=symsum(f(n)/$z^n$,n,0,inf)；

F=ztrans(f,w)：函數返回獨立變量n關于符號向量f的Z變換函數，用w代替了z： ztrans(f,w)$?$F(w)=symsum(f(n)/$w^n$,n,0,inf)；

F=ztrans(f,k,w)：函數返回獨立變量n關于符號向量k的Z變換函數，用w代替了z： ztrans(f,k,w)$?$F(w)=symsum(f(k)/$w^k$,k,0,inf)；

iztrans函數格式：

f=iztrans(F)：函數返回獨立變量z關于符號向量F的Z反變換函數；

f=iztrans(F,k)：函數返回獨立變量k關于符號向量F的Z反變換函數，使用k代替z；

f=iztrans(F,w,k)：函數返回獨立變量w關于符號向量F的Z反變換函數；

實戰3：求函數$f_1(t)=t、f_2(t)=e^{?at}、f_3(t)=\sin (at)$的Z變換。

% 實戰環境：MATLAB 2020b % Tips：以下均由MATLAB驗證 % Tips：注意下面符號函數定義>> syms n a w k z T; % 創建符號變量，T為取樣周期； >> x1=ztrans(n*T);x1=simplify(x1); % 進行z變換，并化簡結果 >> x2=ztrans(exp(-a*n*T));x2=simplify(x2); >> x3=ztrans(sin(w*a*T),w,z);x3=simplify(x3); >> x1,x2,x3 x1 = (T*z)/(z - 1)^2 x2 = z/(z - exp(-T*a))x3 = (z*sin(T*a))/(z^2 - 2*cos(T*a)*z + 1)

實戰4：求函數$F_1(s)=\frac{1}{s(s+1)}、F_2(s)=\frac{s}{s^2+a^2}、F_3(s)=\frac{a?b}{(s+a)(s+b)}$的Z變換。

% 實戰環境：MATLAB 2020b % Tips：以下均由MATLAB驗證>> syms s n t1 t2 t3 a b k z T; % 創建符號變量，T為采樣周期% 對傳遞函數進行拉氏反變換 >> x1=ilaplace(1/s/(s+1),t1);x1=simplify(x1); >> x2=ilaplace(s/(s^2+a^2),t2);x2=simplify(x2); >> x3=ilaplace((a-b)/(s+a)/(s+b),t3);x3=simplify(x3); >> x1,x2,x3x1 = 1 - exp(-t1)x2 = cos(a*t2)x3 = exp(-b*t3) - exp(-a*t3)% 對傳遞函數反變換后的時域函數進行Z變換>> x1=ztrans(1-exp(-n*T));x1=simplify(x1); >> x2=ztrans(cos(a*n*T));x2=simplify(x2); >> x3=ztrans(exp(-b*n*T)-exp(-a*n*T));x3=simplify(x3); >> x1,x2,x3x1 = z/(z - 1) - z/(z - exp(-T)) x2 = (z*(z - cos(T*a)))/(z^2 - 2*cos(T*a)*z + 1)x3 = z/(z - exp(-T*b)) - z/(z - exp(-T*a))

實戰5：求函數$F_1(z)=\frac{2z^2?0.5z}{z^2?0.5z?0.5}$和$F_2(z)=\frac{z+0.5}{z^2+3z+2}$的Z反變換。

% 實戰環境：MATLAB 2020b % Tips：以下均由MATLAB驗證>> syms z a k T; % 定義符號變量 >> x1=iztrans((2*z^2-0.5*z)/(z^2-0.5*z-0.5));x1=simplify(x1); >> x2=iztrans((z+0.5)/(z^2+3*z+2));x2=simplify(x2); >> x1,x2x1 = (-1/2)^n + 1x2 = (-1)^n/2 - (3*(-2)^n)/4 + kroneckerDelta(n, 0)/4

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Day8--复数和复变函数之拉普拉斯变换及反变换和Z变换及反变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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