本文內容概述：

• 1、多項式的表示
• 2、多項式的計算
  • polyval函數
• 3、多項式的根
  • 1）數值根
    • roots函數
    • poly函數
  • 2）符號根
  • 特定區間內的根
    • fzero()
• 4、多項式求微分和積分
  • 1）求微分/求導數
    • polyder函數
  • 2)求微分
    • polyint函數
• 5、多項式曲線的擬合
  • polyfit函數

正文

多項式：諸如$p_n{x}^n+p_{n?1}{x}^{n?1}+...+p_2{x}^2+p_{1}x+p_0$，包含非負整數指數的單個變量的表達式。

1、多項式的表示

Mathlab將多項式表示為行向量，其中的每個元素是按降冪排序的系數，例如p=[p2,p1,p0]表示多項式$p(x)=p_2{x}^2+p_{1}x+p_0$。

多項式$p(x)=4x^5?3x^2+x+1$的表示：

p=[4 0 0 -3 2 1]

2、多項式的計算

根據特定值計算多項式

polyval(p,1) %計算多項式p，x=1的值，對于上述例子，輸出4

以矩陣形式計算多項式

X = [2 4 5; -1 0 3; 7 1 5]; Y = polyvalm(p,X) %輸出：Y = 154360 78561 19306549001 24072 59692215378 111419 269582

3、多項式的根

（1） 數值根

roots函數
例：創建一個向量以表示多項式 $x^2?x?6$，然后計算多項式的根。

p = [1 -1 -6]; r = roots(p) % 輸出 r=3-2

poly函數
poly 函數返回具有指定根的多項式。對向量執行運算時，poly 和 roots 為反函數，因此 poly(roots§) 返回 p。

p2 = poly(r) % 輸出 p2 =1 -1 -6

對矩陣執行運算時，poly 函數會計算矩陣的特征多項式。特征多項式的根是矩陣的特征值。因此，roots(poly(A)) 和 eig(A) 返回相同的答案（取決于舍入誤差、排序和縮放）。

（2）符號根：以符號形式計算多項式

solve函數
計算多項式的根

syms x % 聲明一個符號變量x s = solve(x^2-x-6) % 輸出 s =-23

factor函數
計算多項式各項的因子

F = factor(x^2-x-6) % 輸出 F = [ x + 2, x - 3]

（3）求特定區間內的根

使用 fzero 函數求多項式在特定區間內的根。例如，創建一個函數句柄以表示多項式 。

p = @(x) 3*x.^7 + 4*x.^6 + 2*x.^5 + 4*x.^4 + x.^3 + 5*x.^2;

在區間 [-2，1]內繪制該函數。

x = -2:0.1:1; plot(x,p(x)) ylim([-100 50]) grid on hold on

輸出：

從繪圖中，多項式在 0 和另一個接近 -1.5 的位置各有一個簡單的根。使用 fzero 計算并繪制接近 -1.5 的根。

Z = fzero(p, -1.5) %輸出Z=-1.6056 plot(Z,p(Z),'r*')

4、多項式求微分和積分

1）求微分/求導數
使用 polyder函數獲取多項式$p(x)=x^3?2x?5$的導數，生成的多項式為$q(x)=\frac{d}{dx}p(x)=3x^2?2$ 。

p = [1 0 -2 -5]; q = polyder(p) % 輸出 q = 3 0 -2

polyder 也可以計算兩個多項式積或商的導數。例如，創建兩個向量來表示多項式$a(x)=x^2+3x+5$和$b(x)=2x^2+4x+6$ 。
通過調用帶有單個輸出參數的 polyder來計算兩個多項式之積的導數，生成的多項式為$c(x)=8x^3+30x^2+56x+38$。

a = [1 3 5]; b = [2 4 6]; c = polyder(a,b) % 輸出 c = 8 30 56 38

通過調用帶有兩個輸出參數的 polyder來計算兩個多項式之商的導數，生成的多項式為：$q(x)=\frac{d}{dx}[\frac{a(x)}{b(x)}]=\frac{?2x^2?8x?2}{4x^4+16x^3+40x^2+48x+36}=\frac{q(x)}{d(x)}$

[q,d] = polyder(a,b) % 輸出 q =-2 -8 -2 d =4 16 40 48 36

（2)求微分
使用 polyint函數 對多項式$p(x)=4x^3?3x^2+1$求積分，生成的多項式為 $q(x)=\int p(x)dx=x^4?x^3+x$。

p = [4 -3 0 1]; q = polyint(p) % 輸出 q = 1 -1 0 1 0

5、多項式曲線的擬合

此部分說明如何使用polyfit 函數將多項式曲線與一組數據點擬合。按照如下語法，使用 polyfit 求出以最小二乘方式與一組數據擬合的多項式的系數：

p = polyfit(x,y,n)

其中：

• x 和 y 是包含數據點的 x 和 y 坐標的向量
• n 是要擬合的多項式的次數

舉個栗子。

% 包含5個樣本點的測試數據（x，y） x = [1 2 3 4 5]; y = [5.5 43.1 128 290.7 498.4]; % 用三次多項式進行擬合，返回結果 p = polyfit(x,y,3) %輸出p= -0.1917 31.5821 -60.3262 35.3400繪制樣本點和擬合曲線，輸出結果如下圖。 x2 = 1:.1:5; y2 = polyval(p,x2); plot(x,y,'o',x2,y2) grid on s = sprintf('y = (%.1f) x^3 + (%.1f) x^2 + (%.1f) x + (%.1f)',p(1),p(2),p(3),p(4)); text(2,400,s)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的学习笔记-Matlab之多项式详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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