給定多邊形的頂點坐標（有序），讓你來求這個多邊形的面積，你會怎么做？
我們知道，任意多邊形都可以分割為N個三角形，所以，如果以這為突破點，那么我們第一步就是把給定的多邊形，分割為數個三角形，分別求面積，最后累加就可以了，把多邊形分割為三角形的方式多種多樣，在這里，我們按照如下圖的方法分割：

圖1

S點作為起始點（點1），a->e依次作為點2,3……。
一個三角形的面積是怎樣的呢？
根據線性代數的知識，我們有如下的三角形面積公式，稱之為有向面積(signed area)：

將這個行列式以第三列展開可以得到：

這就是以點1、2、3構成的三角形的有向面積（點如果是順時針給出，有向面積為負，逆時針給出，有向面積為正），那么繼續我們的工作，通過三角形的面積公式，來得到多邊形的面積公式：
對于圖1而言，多邊形的面積就是：
S(1->6)=S(1,2,3)+S(1,3,4)+S(1,4,5)+S(1,5,6)
這里我們不免有些疑問，第一，圖1所給出的是凸多邊形，那這種算法對于非凸多邊形是否同樣適用呢？比如下面這個最簡單的凸多邊形的圖形：

圖2

用剛才的劃分方法的話，就會出現一個詭異的問題，那就是有一個三角形出現在了圖形的外面，而另外一個又超出了多邊形的范圍（劃分為了Sab，Sbc兩個圖形），那么這樣再用剛才的公式求面積，結果還是正確的么？
S(1->4)=S(1,2,3)+S(1,3,4)
先公布結論，這個式子是正確的，等等，為什么？還記得剛才我提到了那個“有向面積”的概念么？忘了的話，請回頭看看加重了的字。
請注意從圖中看，Sab點為順時針排列，Sbc點為逆時針排列，面積從數值上就是從Sab這個超過范圍的大三角形中去掉Sbc這個小三角形，最后的結果神奇的就是多邊形Sabc的面積，那么這個結論能否推廣到任意多邊形呢？

圖3

在這里不做證明，下面給出的公式，就是任意多邊形的面積公式：

題目：hdu2036???? http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2036

//任意多邊形的面積計算

#include <iostream>
#include <utility>
#include <cmath>
using std::cout;
using std::cin;
using std::endl;

typedef std::pair<double ,double> point;

#pragma warning(disable:4244)

double det(point p0,point p1,point p2)
{
?return (p1.first-p0.first)*(p2.second-p0.second)-(p1.second-p0.second)*(p2.first-p0.first);
}

double ploygon_area(int n,point p[])?
{
?double s=0.0f;
?int i=1;
?for(;i < n-1;i++)
??s += det(p[0],p[i],p[i+1]);
?return 0.5*fabs(s);
}

int main(int argc, char *argv[])
{

?int i,n;
?double s;
?point *points = NULL;

?cout<<"Enter the number of edges of the polygon <n>:";
?cin>>n;
?if(n < 2){
??exit(1);
?}

?points = (point *)malloc(n*sizeof(point));

?for(i=0; i<n; i++){
??cout<<endl<<"points["<<i<<"]=";
??cin>>points[i].first>>points[i].second;
?}

?s=ploygon_area(n, points);
?cout<<"The area is:"<<s<<std::endl;

?if(points)
??free(points);

?return 1;
}

代碼大家可以自行修改，主要看公式

總結

以上是生活随笔為你收集整理的求任意多边形面积-有向面积的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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