前言：前面12節課是有關概率的知識，這節課是開始需要研究隨時間變化的現象，也就是隨機過程，random processes ，stochastic processes。random processes are supposed to be models that capture the evolution of random phenomena over time，這節課講伯努利過程。


先從簡單的隨機過程開始講起，伯努利過程是離散時間的隨機過程。

兩種解讀方式：
第一種是每個時間對應一個單獨的獨立隨機變量，隨時間進行構成一個序列。
第二種是把所有時間放在一起看，當成一個隨機變量。
經過計算，當0 < p < 1時候, sample space 中的每個outcome的概率都是0， 這有點像連續狀態空間里的outcome

對于伯努利過程，成功次數為k次的結果的集合作為事件的概率為上圖中的$P(S=k)$
由于每次實驗同分布, 且有$S={\sum }_{i=1}^n{X}_i$，則$E[S]={\sum }_{i=1}^{n}E[X_i]=n?p$, 因為實驗是獨立的, 所以$Var(S)=n?p?(1?p)$

我們再換一種隨機變量，$T_1$定義為第一次出現成功的試驗次數。
$E[T_1]$怎么求的可以看這篇cite
$$\begin{gathered} Var(X)=E[X^2]?(E[X]{)}^2 \\ 上面E[X]求完了，只需要求E[X^2],求法和求E[X]差不多 \\ E[X^2|X=1]=1 \\ E[X^2|X>1]=E[(X+1{)}^2]=E[X^2]+2?E[X]+1 \\ E[X^2]=p?E[X^2|X=1]+(1?p)?E[X^2|X>1] \\ =p?1+(1?p)?(E[X^2]+2?E[X]+1) \\ 這樣E[X^2]就能算出來了，Var(X)也就能算出來了。 \end{gathered}$$
上圖中藍色的區間不是geometric§，因為0 的起始位置應該是未知的，綠的的區間才符合geometric§， 因為這時已經有了一個0，已經知道了起始位置，那么多久之后才有1 呢，這和從開始實驗到第一個1 出現完全相同的。0連續出現的長度和綠色區間的長度正好相等。

第k次到達的時間是多個第一次到達時間的加和。每次到達所需時間互相之間都是獨立的且都是幾何分布。

第k次到達的時間是t的概率：這個概率是【1，t-1】時間內到達了k-1次，并且t 時刻到了1次，這兩個事件的joint probability。

伯努利過程可以分解,也可以合并。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Lecture 13: Bernoulli Process的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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