Unity游戲開發中的向量運算-點乘和叉乘

1.點乘：

定義：

又稱點積、數量積、標量積。既可以由向量坐標的代數運算得出，也可以通過引入兩個向量的長度和角度等幾何概念來求解。

公式一：

?公式二：

點積滿足交換律，即?a?b = b?a

通過點積公式可以看出，a，b都是標量，都是正數，余弦值結果只受角度變化的影響。所以，游戲開發中經常對向量a、b進行歸一化，即當兩個單位向量的長度都是1時，點乘的結果就是他們夾角的余弦值，最后可以反余弦求得向量的夾角 θ = arccos(a?b)，注意這里得到的是弧度值，需要再乘以Mathf.Rad2Deg才能得到最終的角度。這個結果也可以通過Vector3.Angle(a,b)直接得出。

?由余弦函數曲線可以看出：當夾角小于90，余弦值大于0；當夾角大于90，余弦值小于0。

游戲中的應用：

1.判斷敵人在我們前方或者后方？

我們以自己為原點，問題就可以轉化為，計算我們的正前方(Vector3.forward)和原點指向敵人位置的向量的點積。當結果大于0時，說明敵人與我們正前方夾角小于90度，敵人在我們前面，當結果小于0時，說明敵人與我們正前方夾角大于90度，敵人在我們后面。

2.已知敵我位置，自己的視角θ范圍，判斷敵人是否在視角內？

同樣以自己為原點，首先可以求得正前方向量和指向敵人位置的向量之間的夾角α，因為左右視角是平分的，我們只需要比較α和θ/2的大小就可以判斷出結果了。由根據余弦值在(0,π)是單調遞減的，所以可以通過直接比較cos值的大小來比較θ值的大小，不需要通過反余弦來計算真實角度值。即當cos(α) > cos(θ/2)時，敵人在我們視角內；當cos(α) < cos(θ/2)時，敵人在我們視角外。

?2.叉乘：

定義：

向量積，數學中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個向量而不是一個標量。并且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。同樣既可以由向量坐標的代數運算得出，也可以通過引入兩個向量的長度和角度等幾何概念來求解。

?公式一：

?公式二：

該結果為向量積的模長，其中0° < θ < 180°，方向在unity中由左手法則得出。

?

?叉乘不滿足交換律，滿足反交換律，即?axb = -(bxa)

根據左手定則可以看出，叉乘結果大于0時，第二個向量在第一個向量右邊，叉乘結果小于0時，第二個向量在第一個向量左邊。

?根據叉乘的定義，這兩個只在XY平面的向量的叉乘，必然為一個只在Z軸（垂直于XY平面）上有值的向量，所以可以把2D向量的叉乘簡化為一個只表示Z值的標量。

所以2D向量的叉乘可以定義為：

?這個公式的幾何意義就是如果以向量a和b為邊構成一個平行四邊形，那么a和b的叉乘的結果就是這個平行四邊形的面積。

游戲中的應用：

判斷最優轉向敵人問題

以自己為原點，計算自己正前方和指向敵人的向量的叉乘，如果結果大于0，說明敵人在我們右手邊，小于0則在我們左手邊。

3.總結：

簡單來說，在兩個物體的位置關系判斷中。

點乘可以判斷出目標物體在我的前方還是后方。大于零在前方，小于零在后方。

叉乘可以判斷出目標物體在我的左邊還是右邊。大于零在右方，小于零在左方。

?參考文章：

向量運算在游戲開發中的應用和思考

Unity游戲開發——向量運算（點乘和叉乘）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Unity游戏开发中的向量运算-点乘和叉乘的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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