問題描述

平面上畫有間隔為d 的等距平行線，向平面任意投擲一枚長為 l 的針，求針與平行線相交的概率.

解：

以 \(x\) 表示針的中點與最近一條平行線的距離。又以 \(\varphi\) 表示針與此直線間的交角。易知樣本空間 \(\Omega\) 滿足：

\[0 \leq x \leq \fracozvdkddzhkzd{2}; \ 0 \leq \varphi \leq \pi.

\]

\(\Omega\) 形成 \(x - \varphi\) 平面上的一個矩形，其面積為：

\[S_{\Omega} = \frac{d\pi}{2}

\]

A = "針與平行線相交" 的充要條件是：

\[x \leq \frac{l}{2}sin{\varphi}

\]

針是任意投擲的，所以這個問題可用幾何方法求解得：

\[P(A) = \displaystyle\frac{S_{A}}{S_{\Omega}} = \displaystyle\frac{\int_{0}^{\pi}\frac{l}{2}sin{\varphi}d\varphi}{\frac{\pi d}{2}} = \displaystyle\frac{2l}{d\pi}

\]

總結

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