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编程问答

矩阵论-线性空间的基与坐标，基变换坐标变换

發布時間：2023/12/13 编程问答 46 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了矩阵论-线性空间的基与坐标，基变换坐标变换小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

本系列博文主要總結學習矩陣論的心得筆記，參考數目《矩陣論》–張凱院；整個文章的整理體系參照行書過程。

向量的坐標有利于借助數量運算實現向量運算，所以引進向量的坐標是十分必要的。

基：設集合V是數域K上的線性空間， $x_1,x_2,...,x_r（r>=1）$ 是屬于V的任意r個向量，這r個向量線性無關；且V中任意一個向量x都可以由 $x_1,x_2,...,x_r$ 線性表示。則 $x_1,x_2,...,x_r$ 是V的一組基。線性空間的基是不唯一的。

坐標： 集合V中的任意一個向量x在一組基下的線性表示系數，為這個向量在該組基下的坐標。且每一個向量在同一組基下的坐標表示是唯一的。（唯一性的證明：設兩組坐標表示，相等移項，有基線性無關，推導系數為零，導出坐標表示唯一）

在線性空間中引入向量坐標的概念后，抽象的向量和向量組的有關問題可以轉化為坐標運算的問題。

因為線性空間的基是不唯一的，所以同一向量在不同基下的坐標表示一般是不同的。當基變換時，同一向量的坐標該如何變化？

基變換公式：
舊基：

x_1,x_2,...,x_n

新基：

y_1,y_2,...,y_n

新基向量用舊基線性表示：

{y1=c11x1+c21x2+...+cn1xny2=c12x1+c22x2+...+cn2xn......yn=c1nx1+c2nx2+...+cnnxn\left\{ \begin{aligned} y_1=c_{11}x_1+c_{21}x_2+...+c_{n1}x_n \\ y_2=c_{12}x_1+c_{22}x_2+...+c_{n2}x_n \\ ... ...\\ y_n=c_{1n}x_1+c_{2n}x_2+...+c_{nn}x_n \end{aligned} \right.

y_1,y_2,...,y_n)=(x_1,x_2,...,x_n)C

C=[c11c12...c1nc21c22...c2n............cn1cn2...cnn]C=\begin{gathered} \begin{bmatrix} c_{11} &amp; c_{12}&amp;...&amp;c_{1n} \\ c_{21} &amp; c_{22}&amp;...&amp;c_{2n} \\ ... &amp; ...&amp;...&amp;... \\c_{n1} &amp; c_{n2}&amp;...&amp;c_{nn} \\\end{bmatrix} \end{gathered}

C為舊基改變為新基的過度矩陣。

坐標變換：
向量x在新舊兩組基下的坐標表示：
舊基坐標表示：

α=(ξ1,ξ2,...,ξn)T\alpha =(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n)^T

新基坐標表示：

β=(η1,η2,...,ηn)T\beta =(\eta_1,\eta_2,...,\eta_n)^T

x=(x1,x2,...,xn)α=(y1,y2,...,yn)β=(x1,x2,...,xn)Cβx=(x_1,x_2,...,x_n)\alpha=(y_1,y_2,...,y_n)\beta=(x_1,x_2,...,x_n)C\beta

α=Cβ∣∣β=C?1α\alpha=C\beta ||\beta=C^{-1}\alpha

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵论-线性空间的基与坐标，基变换坐标变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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