線性空間與線性變換

• 綜述
• 1.2 線性變換及其矩陣
• • 1.2.3 特征值與特征向量

綜述

本系列博文主要總結學習矩陣論的心得筆記，參考數目《矩陣論》–張凱院；整個文章的整理體系參照行書過程。

1.2 線性變換及其矩陣

1.2.3 特征值與特征向量

本節討論如何選擇線性空間的基，使得線性變換在該組基下的矩陣表示最簡單。而線性變換的特征值與特征向量對于線性變換的研究起著至關重要的作用 。

特征值與特征向量具有十分鮮明的幾何意義：特征向量x經過線性變換后方向保持不變，長度發生$\lambda$倍。嚴格的數學定義為：
設數域K上的線性空間$V_n$中有一線性變換T，對K中的某一數$\lambda$存在非零向量$x\in V_n$使得
$$Tx=\lambda x(1)$$
成立，則稱$\lambda$為T的特征值，x為T的屬于$\lambda$的特征向量。特征向量不是被特征值唯一確定的，可以存在K倍特征向量關系。特征值卻被特征向量唯一確定。

特征多項式： 在線性空間中引入基后產生坐標，即上述線性變換在空間$V_n$的一組基$x_1,x_2,x_3,...,x_n$下的矩陣為A,特征向量x在基下的坐標表示為：$({\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n{)}^T$,則定義式（1）的坐標表示方法為:
$$A\begin{array}{c}?\begin{array}{c}{\xi }_1\\ {\xi }_2\\ ...\\ {\xi }_n\end{array}?\end{array}=\lambda \begin{array}{c}?\begin{array}{c}{\xi }_1\\ {\xi }_2\\ ...\\ {\xi }_n\end{array}?\end{array}(2)$$
移項可得：
$$(A?\lambda I)\begin{array}{c}?\begin{array}{c}{\xi }_1\\ {\xi }_2\\ ...\\ {\xi }_n\end{array}?\end{array}=0(3)$$
由于特征向量x非零，所以上式的解由矩陣$(A?\lambda I)$的行列式確定。當$det(A?\lambda I)=0$時，方程組（3）有非零解。我們稱$det(A?\lambda I)=0$為A的特征多項式，特征多項式的零點（$det(A?\lambda I)=0$的解$\lambda$）為A 的特征值，將特征值$\lambda$帶入方程組(3)解得的向量$({\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n{)}^T$為A對應與特征值$\lambda$的特征向量。

**綜上：**求一個線性變換的特征值與特征向量，只需找一組基，將線性變換表成基下矩陣的形式，求該矩陣的特征值與特征向量即可。

依據根與系數的關系有：
特征值的和=矩陣的跡
$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=trA$$
特征值的積=矩陣的行列式
$${\Pi }_{i=1}^n{\lambda }_i=detA$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵论-线性变换的特征值与特征变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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