牛頓迭代法概述

牛頓迭代法（Newton’s method）又稱為牛頓-拉弗森方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法。

牛頓迭代公式

設(shè)$r$是$f(x)=0$的根，選取$x_0$作為$r$的初始近似值。

過(guò)點(diǎn)$(x_0,f(x_0))$做曲線$y=f(x)$的切線$L_1$，$L_1:y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x?x_0)$，則$L_1$與$x$軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)$x_1=x_0?\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$，稱$x_1$為$r$的一次近似值。

過(guò)點(diǎn)$(x_1,f(x_1))$做曲線$y=f(x)$的切線$L_2$，$L_2:y=f(x_1)+f^{\prime }(x_1)(x?x_1)$，則$L_2$與$x$軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)$x_2=x_1?\frac{f(x_1)}{f^{\prime }(x_1)}$，稱$x_2$為$r$的二次近似值。

重復(fù)以上過(guò)程，得$r$的近似值序列，其中，$x_{n+1}=x_n?\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$稱為$r$的$n+1$次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。

舉個(gè)例子

題目

用牛頓迭代法求出$\sqrt{2}$的二次正近似值（初始近似值$x_0=2$）。

解答

$$x=\sqrt{2}?x^2?2=0$$

$$f(x)=x^2?2$$

$$f^{\prime }(x)=2x$$

設(shè)$r$是$f(x)=0$的正根，$x_0=2$作為$r$的初始近似值。

$f(x)$過(guò)點(diǎn)$A(2,f(2))?A(2,2)$。

過(guò)點(diǎn)$A$作曲線$y=f(x)$的切線$L_1$：

$$L_1:y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x?x_0)$$

$$y=2+2?2?(x?2)$$

$$y=4x?6$$

則$L_1$與$x$軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)$x_1$:

$$0=4x_1?6$$

$$x_1=\frac{3}{2}$$

或者直接用牛頓迭代公式:

$$x_1=x_0?\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}=2?\frac{2^2?2}{2?2}=2?\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

$x_1$為$r$的一次近似值。

---

$f(x)$過(guò)點(diǎn)$B(\frac{3}{2},f(\frac{3}{2}))?B(\frac{3}{2},\frac{1}{4})$。

過(guò)點(diǎn)$B$作曲線$y=f(x)$的切線$L_2$：

$$L_2:y=f(x_1)+f^{\prime }(x_1)(x?x_1)$$

$$y=\frac{1}{4}+2?\frac{3}{2}?(x?\frac{3}{2})$$

$$y=3x?\frac{17}{4}$$

則$L_2$與$x$軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)$x_2$:

$$0=3x_2?\frac{17}{4}$$

$$x_2=\frac{17}{12}=1.4166666\dot{6}$$

或者直接用牛頓迭代公式:

$$x_2=x_1?\frac{f(x_1)}{f^{\prime }(x_1)}=\frac{3}{2}?\frac{(\frac{3}{2}{)}^2?2}{2?\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}?\frac{1}{12}=\frac{17}{12}$$

$x_2$為$r$的二次近似值。

綜上所述，$\sqrt{2}$的二次正近似值為$\frac{17}{12}=1.4166666\dot{6}$。

用牛頓迭代法求平方根的Java程序?qū)崿F(xiàn)

假設(shè)你想用程序?qū)崿F(xiàn)求出$a$的正平方根。

已知三個(gè)公式：

牛頓迭代公式 $x_{n+1}=x_n?\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$

$f(x)=x^2?a$

$f^{\prime }(x)=2x$

由三個(gè)公式可得：

$$x_{n+1}=x_n?\frac{x_n^2?a}{2x_n}$$

$$x_{n+1}=\frac{x_n^2+a}{2x_n}$$

$$x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{a}{x_n}}{2}$$

因此，容易編寫出以下程序：

public class Sqrt {public static void main(String[] args) {System.out.println(sqrt(2));}private static double sqrt(double a) {if (num < 0)throw new IllegalArgumentException();double err = 1E-15;double cur = a;while (Math.abs(a - cur * cur) > err)//精度越來(lái)越高cur = (cur + a / cur) / 2;return cur;} }

參考資料

牛頓迭代法_百度百科

如何通俗易懂地講解牛頓迭代法求開(kāi)方？數(shù)值分析？ - 知乎

牛頓迭代法快速尋找平方根

牛頓求根法

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的轻松理解牛顿迭代法且用其求平方根的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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