動態規劃

動態規劃(dynamic programming)是運籌學的一個分支，是求解決策過程(decision process)最優化的數學方法。20世紀50年代初美國數學家R.E.Bellman等人在研究多階段決策過程(multistep decision process)的優化問題時，提出了著名的最優化原理(principle of optimality)，把多階段過程轉化為一系列單階段問題，利用各階段之間的關系，逐個求解，創立了解決這類過程優化問題的新方法——動態規劃。

https://blog.csdn.net/hebtu666/article/category/8018091基礎總結

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狀態壓縮

我們在進行動態規劃時，有時狀態相當復雜，看上去需要很多空間，比如一個數組才能表示一個狀態，那么就需要對狀態進行某種編碼，進行壓縮表示。

比如：狀態和某個集合有關，集合里可以有一些元素，沒有另一些元素，那么就可以用一個整數表示該集合，每個元素對應于一個bit，有該元素，則該bit就是1。

這個皇后問題就可以幫助理解https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/84631083

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旅行商問題

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旅行商問題(TravelingSalesmanProblem，TSP)是一個經典的組合優化問題。經典的TSP可以描述為：一個商品推銷員要去若干個城市推銷商品，該推銷員從一個城市出發，需要經過所有城市后，回到出發地。應如何選擇行進路線，以使總的行程最短。從圖論的角度來看，該問題實質是在一個帶權完全無向圖中，找一個權值最小的Hamilton回路。由于該問題的可行解是所有頂點的全排列，隨著頂點數的增加，會產生組合爆炸，它是一個NP完全問題。由于其在交通運輸、電路板線路設計以及物流配送等領域內有著廣泛的應用，國內外學者對其進行了大量的研究。早期的研究者使用精確算法求解該問題，常用的方法包括：分枝定界法、線性規劃法、動態規劃法等。但是，隨著問題規模的增大，精確算法將變得無能為力，因此，在后來的研究中，國內外學者重點使用近似算法或啟發式算法，主要有遺傳算法、模擬退火法、蟻群算法、禁忌搜索算法、貪婪算法和神經網絡等。

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如圖，我們如何從0點出發，以最小代價走過所有的點？

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分析

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拋開這個圖，我們試想：我們可能從0點一次性走到哪些點呢？

只可能1點、2點、3點、4點（廢話）

那我們如果知道了

1）從1點開始走，經過所有的點，最后走到了0點的最小距離；a

2）從2點開始走，經過所有的點，最后走到了0點的最小距離；b

3）從3點開始走，經過所有的點，最后走到了0點的最小距離；c

4）從4點開始走，經過所有的點，最后走到了0點的最小距離；d

請再次注意：

我們可能從0點一次性走到哪些點呢？

只可能1點、2點、3點、4點（廢話）

所以我們可以從0點走到1點，再從1點經過最小距離走到0點。

2點、3點、4點同理。

那么我們取min(a+3,b+MAX,c+4,d+MAX)即可。

3為0點走到1點的距離，4為0點走到3點的距離。

MAX代表此路不通。。

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那我們繼續思考，abcd怎么求呢？其實同樣的：

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比如：求a

從1點開始走，經過所有的點，最后走到了0點的最小距離；a

同樣的思考：我們可能從1點一次性走到哪些點呢？

答：可以走到0點、2點、3點、4點。

注意：由于問題要求為：只能經過每一個頂點一次，所以我們要去掉0點，因為我們經過0點，最后再到0點就會重復，所以，

“經過所有的點”是不準確的，是除0點的所有的點。

所以只有三個點可能從1點走過去，我們需要求：

1）從2點開始走，經過除0點所有的點，最后走到了0點的最小距離x

2）從3點開始走，經過除0點所有的點，最后走到了0點的最小距離y

3）從4點開始走，經過除0點所有的點，最后走到了0點的最小距離z

然后取min(x+到2點的距離，y+到3點的距離，z+到4點的距離)

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歸納表達式

1）我們會發現，每一次狀態轉移其實對應的是一個點的集合：

以后還會有經過除1，2點，經過除1，2，3點等等。

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2）還有從哪個點開始走：

這兩個條件就可以描述當前的狀態。

我們把上面的總結用公式表示出來：

S為已經訪問過的點的集合

v表示當前所在點。

那么dp[S][v]就表示為從點v出發訪問剩余點，最終返回0點的最小長度。

我們把剛才的求解過程用公式表達出來。

?這個符號我實在沒找到，理解意思。

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壓縮

像這樣，狀態可以根據集合表示的DP，我們稱作狀態壓縮DP。

狀態和某個集合有關，集合里可以有一些元素，沒有另一些元素，那么就可以用一個整數表示該集合，每個元素對應于一個bit，有該元素，則該bit就是1。?

本題來說，所有點都在集合里就是11111

哪個點沒在，對應的位就為0

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注意：對于狀態不是整數而是集合的情況，通常不太容易確定DP的順序，如果確實不好想順序，可以通過記憶化搜索來做。

集合S，如果對于任意S(i)<S(j)，那么一定有i<j。所以確定了順序。

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確定dp表的大小，有n個城市，從0開始編號，那么dp表的行數就是n，列數就是2^(n-1)

int n; int d[MAX_N][MAX_N];//鄰接矩陣 int dp[1<<MAX_N][MAX_N];

對于數字x，要看它的第i位是不是1，那么可以通過 (x >>i) & 1取出那一位來看

先用足夠大的值初始化dp數組，不要影響結果，然后核心代碼：

for(int S = (1<<n)-2 ; S >= 0 ; s--)//每一個集合 {for(int v = 0 ; v < n ; v++)//每一個出發點{for(int u = 0 ; u < n ; u++)//訪問每一個點{if(!(S>>u&1))//判斷是否在集合中{dp[S][v] = min(dp[S][v] , dp[S | 1<<u][u]+d[v][u]);}}} }

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總結

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當我們把狀態壓縮應用到動態規劃中，可以用來精簡狀態，節約空間，也方便轉移。

最常見的就是用二進制來表是狀態，利用各種位移運算，就可以實現O(1)的轉移。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的由旅行商问题认识何为状态压缩的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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