動態(tài)規(guī)劃 Dynamic Programming DP

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準則

動態(tài)規(guī)劃的本質，是對問題狀態(tài)的定義和狀態(tài)轉移方程的定義。

動態(tài)規(guī)劃是通過拆分問題，定義問題狀態(tài)和狀態(tài)之間的關系，使得問題能夠以遞推（或者說分治）的方式去解決。

如何拆分問題，才是動態(tài)規(guī)劃的核心。

而拆分問題，靠的就是狀態(tài)的定義和狀態(tài)轉移方程的定義。

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以LIS為例，重新定義這個問題：

給定一個數(shù)列，長度為N，

設F_{k}為：以數(shù)列中第k項結尾的最長上升子序列的長度.

求F_{1}..F_{N} 中的最大值.

對于F_{k}來講，F_{1} .. F_{k-1}都是F_{k}的子問題：因為以第k項結尾的最長遞增子序列（下稱LIS），包含著以第1..k-1中某項結尾的LIS。

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上述的新問題F_{k}也可以叫做狀態(tài)，定義中的“F_{k}為數(shù)列中第k項結尾的LIS的長度”，就叫做對狀態(tài)的定義。

之所以把F_{k}做“狀態(tài)”而不是“問題” ，一是因為避免跟原問題中“問題”混淆，二是因為這個新問題是數(shù)學化定義的。

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上述狀態(tài)定義好之后，狀態(tài)和狀態(tài)之間的關系式，就叫做狀態(tài)轉移方程。

比如，對于LIS問題，狀態(tài)轉移方程為：

以第k項結尾的LIS的長度是：保證第i項比第k項小的情況下，以第i項結尾的LIS長度加一的最大值，取遍i的所有值（i小于k）。

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a. “緩存”，“重疊子問題”，“記憶化”

這三個名詞，都是在闡述遞推式求解的技巧。以Fibonacci數(shù)列為例，計算第100項的時候，需要計算第99項和98項；在計算第101項的時候，需要第100項和第99項，這時候你還需要重新計算第99項嗎？不需要，你只需要在第一次計算的時候把它記下來就可以了。上述的需要再次計算的“第99項”，就叫“重疊子問題”。如果沒有計算過，就按照遞推式計算，如果計算過，直接使用，就像“緩存”一樣，這種方法，叫做“記憶化”，這是遞推式求解的技巧。這種技巧，通俗的說叫“花費空間來節(jié)省時間”。都不是動態(tài)規(guī)劃的本質，不是動態(tài)規(guī)劃的核心。

b. “自上而下”，“自下而上”

“遞歸”：遞歸是遞推式求解的方法，連技巧都算不上。

怎么實現(xiàn)dp？答：兩種常用的方法。（僅僅涉及一般問題）?????

?1. 自下而上：通過正向的loop，求出所有狀態(tài)對應的值，然后找出max或者min。???????????? 優(yōu)缺點：速度慢，但是相對節(jié)省空間。?????

2. 自上而下：通過遞歸的方法，需要求解f(x)，則必須知道f(y)，要知道f(y)，必須求f(z).??????????? 優(yōu)缺點：速度快，只用算需要的值，但是要調用堆棧，浪費空間。

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c. "無后效性"，“最優(yōu)子結構”

上述的狀態(tài)轉移方程中，等式右邊不會用到下標大于左邊i或者k的值，這是"無后效性"的通俗上的數(shù)學定義，符合這種定義的狀態(tài)定義，我們可以說它具有“最優(yōu)子結構”的性質，在動態(tài)規(guī)劃中我們要做的，就是找到這種“最優(yōu)子結構”。

每個階段的最優(yōu)狀態(tài)可以從之前某個階段的某個或某些狀態(tài)直接得到

這個性質叫做最優(yōu)子結構；

而不管之前這個狀態(tài)是如何得到的

這個性質叫做無后效性。

在對狀態(tài)和狀態(tài)轉移方程的定義過程中，滿足“最優(yōu)子結構”是一個隱含的條件（否則根本定義不出來）。

d. 關于復雜度的分析

時間復雜度O （狀態(tài)數(shù) * 每個狀態(tài)下所對應的決策數(shù)）。

空間復雜度O （狀態(tài)數(shù)）。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划做多了以后，总结的相关知识的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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