原題來自雪梨教育

http://www.edu2act.net/task/list/checked/

題后給出講解和擴(kuò)展

任務(wù)1_1 比較下列算法的時(shí)間復(fù)雜度

任務(wù)描述：

? ? 下面給出4個(gè)算法，請(qǐng)分析下列各算法的時(shí)間復(fù)雜度，請(qǐng)寫清楚題號(hào)，并將每個(gè)小題的分析過程寫出來，并給出分析結(jié)果。

（1）

for(i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &num[i]); ans = num[1]; for(i = 1; i <= n; i++) {for(j = i; j <= n; j++) {s = 0;for(k = i; k <= j; k++)s += num[k];if(s > ans)ans = s;} }

（2）

for(i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &num[i]); sum[0] = 0; for(i = 1; i <= n; i++) {sum[i] = num[i] + sum[i - 1]; }ans = num[1]; for(i = 1; i <= n; i++) {for(j = i; j <= n; j++) {s = sum[j] - sum[i - 1];if(s > ans) ans = s;} }

（3）

int solve(int left, int right) {if(left == right)return num[left];mid = (left + right) / 2;lans = solve(left, mid);rans = solve(mid + 1, right);sum = 0, lmax = num[mid], rmax = num[mid + 1];for(i = mid; i >= left; i--) {sum += num[i];if(sum > lmax) lmax = sum;}sum = 0;for(i = mid + 1; i <= right; i++) {sum += num[i];if(sum > rmax) rmax = sum;}ans = lmax + rmax;if(lans > ans) ans = lans;if(rans > ans) ans = rans;return ans; }int main(void) {scanf("%d", &n);for(i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &num[i]);printf("%d\n", solve(1, n));return 0; }

（4）

for(i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &num[i]);num[0] = 0; ans = num[1]; for(i = 1; i <= n; i++) {if(num[i - 1] > 0) num[i] += num[i - 1];elsenum[i] += 0;if(num[i] > ans) ans = num[i]; }

任務(wù)1_2 數(shù)字反轉(zhuǎn)的時(shí)空復(fù)雜度

任務(wù)描述：

下面兩個(gè)函數(shù)fun1和fun2都是實(shí)現(xiàn)對(duì)整數(shù)的逆序輸出功能，請(qǐng)根據(jù)下面題目要求，給出答案。

（1） 請(qǐng)分析函數(shù)fun1的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度；

（2） 請(qǐng)分析函數(shù)fun2的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度。

代碼如下：

?

int fun1(int n) {int rev = 0;while (n != 0) {int pop = n % 10;n /= 10;rev = rev * 10 + pop;}return rev; }void fun2(int n) {printf("%d", n % 10);if(n / 10 != 0)fun2(n / 10); }int main(void) {printf("%d\n", fun1(10203)); fun2(10203);return 0; }

?

講解：

說頻度，或者求和公式往上堆出來的解釋，?都是耍流氓

沒有專業(yè)名詞的講解才是講解

?

直接粘貼我交的作業(yè)

?

先用數(shù)學(xué)說明，后解釋題意并分析。

分別為O(N^3),O(N^2),O(N*logN),O(N).

數(shù)學(xué)：

1）第一個(gè)循環(huán)O(N)

對(duì)于每一個(gè)i來說，j執(zhí)行n-i+1次，對(duì)于每個(gè)j來說，k執(zhí)行j-i+1次，我們把常數(shù)去掉，

對(duì)于每一個(gè)i，執(zhí)行的常數(shù)操作為1+2+3+...+(n-i+1),等差數(shù)列[1+(n-i+1)](n-i+1)/2約等于(n-i)^2而i=1,2,....n，分別執(zhí)行常熟操作次數(shù)為(n-1)^2,(n-2)^2......1^2,0^2.，可以看出是平方函數(shù)求和，而對(duì)x^2求和n項(xiàng)的公式為(n^3)/3+(n^2)/2+n/6，我們只看最大，去掉常數(shù)，也就是O(N^3).

O(N^3)+O(N)當(dāng)然還是O(N^3)

2）前兩個(gè)循環(huán)都是O(N),下面兩重循環(huán)，對(duì)于每個(gè)i，j執(zhí)行n-i次，當(dāng)i=1，2....n，j執(zhí)行次數(shù)為n-1,n-2....1,0,可以看出是等差數(shù)列求和，最高項(xiàng)是(n^2)/2，去掉系數(shù)，時(shí)間復(fù)雜度為O(N^2).

加起來：O(N^2)+O(N)+O(N)=O(N^2)

3）分析solve函數(shù)：采用二分，將序列分成兩份，直到不可再分，執(zhí)行的兩個(gè)循環(huán)加起來就是遍歷一遍左右端點(diǎn)之間數(shù)的復(fù)雜度。我們看所有從長(zhǎng)度為1的子數(shù)組，數(shù)量為n，合并后，所有長(zhǎng)度為2的子數(shù)組，數(shù)量為n/2，再合并，長(zhǎng)度為4的子數(shù)組，數(shù)量為n/4，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)于每個(gè)長(zhǎng)度1,2^2,2^4,2^3，的子數(shù)組，遍歷一遍所有長(zhǎng)度一樣的子數(shù)組的復(fù)雜度都是O(N)，設(shè)一共有x種長(zhǎng)度，2^x=n,很明顯x=log(2,n)。

每次O(N)，次數(shù)o(log(2,n)),乘起來O(n*logn)

看main函數(shù)，接收數(shù)據(jù)是O(N)，加solve，等于O(n*logn)

4）接收數(shù)據(jù)O(N)，一個(gè)循環(huán)O(N)，加起來O(N)。

?

下面我根據(jù)完成的功能和思路分析一下：（思路簡(jiǎn)單，文字略長(zhǎng)，不太會(huì)敘述）

這四個(gè)代碼完成的功能都是求最大子數(shù)組（注意用詞準(zhǔn)確，子數(shù)組連續(xù)，子序列可以不連續(xù)）。

1）分別枚舉每一個(gè)子數(shù)組的起點(diǎn)和終點(diǎn)，也就是i和j，對(duì)于每一個(gè)起點(diǎn)和終點(diǎn)，對(duì)中間部分求和，也就是k循環(huán)。顯然有n個(gè)起點(diǎn)n個(gè)終點(diǎn)（去重減半，不影響復(fù)雜度），所以子數(shù)組數(shù)量為O(N^2)，對(duì)于每個(gè)子數(shù)組，我們要遍歷一下求和，子數(shù)組長(zhǎng)度1-n不等，遍歷一遍平均O(N)，乘起來O(N^3).（注意可能產(chǎn)生時(shí)間更大的錯(cuò)覺）。找出所有子數(shù)組中最大的即可。

2）預(yù)處理出每一個(gè)以第一個(gè)元素開始，第i個(gè)元素結(jié)尾的子數(shù)組和，還是枚舉每個(gè)起點(diǎn)終點(diǎn)，但是我們求和時(shí)直接減就可以了，不用遍歷。對(duì)于每個(gè)子數(shù)組，操作為O(1),子數(shù)組數(shù)量O(N^2),所以總時(shí)間O(N^2).

3）二分，求左右兩邊最大子數(shù)組，取最大。但是還有一種情況：包含斷點(diǎn)的那些子數(shù)組也要考慮，請(qǐng)思考那兩個(gè)那兩個(gè)循環(huán)為什么那么寫？最后邏輯為何正確？

4）動(dòng)態(tài)規(guī)劃入門思想

沒有枚舉，num[i]的含義是以下標(biāo)i結(jié)尾的所有子數(shù)組中最大的。

遍歷數(shù)組，對(duì)于第i個(gè)元素，它的所有子數(shù)組下標(biāo)范圍有[1,i],[2,i].....[i-1,i],還有它自己，我們看i-1個(gè)元素，他的子數(shù)組為[1,i-1],[2,i-1].....[i-1]。請(qǐng)想num[i]的含義，我們求i結(jié)尾的，只要把i-1結(jié)尾的最大加上i就好了，當(dāng)然如果i-1結(jié)尾最大子數(shù)組是負(fù)的，i結(jié)尾最大子數(shù)組就是它本身。

為什么O(N)？時(shí)間省在哪里了？我們省掉了許多沒必要的計(jì)算，計(jì)算i時(shí)，之前的數(shù)組和已經(jīng)都計(jì)算過，樸素算法并沒有記錄下來，而是重復(fù)計(jì)算，造成時(shí)間浪費(fèi)。算法優(yōu)化的過程就是去掉重復(fù)計(jì)算的過程。

?

1-2

fun1:時(shí)間O(log10,N)，空間O(1)

FUN2:時(shí)間O(log10,N)，空間O(log10,N)

第一個(gè)函數(shù)只是有限幾個(gè)變量，所以空間O(1),一個(gè)循環(huán)n每次縮小十倍，時(shí)間O(log10,N).

第二個(gè)函數(shù)遞歸調(diào)用，這個(gè)函數(shù)沒執(zhí)行完就跳到另外的函數(shù)，會(huì)壓函數(shù)棧，空間O(log(10,n)),

而時(shí)間還是O(log10,N)，復(fù)雜度沒變但是時(shí)間稍長(zhǎng)。

?

?

?

作業(yè)完了

?

我們說拓展：如何求二維數(shù)組的最大和子數(shù)組？

如果大家看懂了之前的講解，我給個(gè)提示：利用第二個(gè)代碼和第四個(gè)代碼思想的結(jié)合

?

?

解釋：

1? ?2? 3? ?4

-1 -2? 1? ?2

1? ?3? ?-2? 1

-1? -2? -1? -3

如圖是前三行整體最大

怎么做呢？

先用第二個(gè)代碼的思想，我們進(jìn)行預(yù)處理

每個(gè)數(shù)代表這一列到這個(gè)數(shù)位置截止，累加和。

1? 2? 3? 4

0? 0? 4? 6

1? 3? 2? 7

0? 1? 1? 4

然后，我們枚舉每一列的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為第0，1，2，3行

然后壓縮成一維來做

比如求1-3行的這個(gè)矩形，我們拿0和3行減一下就行了

0-1，1-2，1-3，4-4=-1，-1，-2，0就是1-3行壓縮后的結(jié)果

然后按一維do來做就好

時(shí)間復(fù)雜度：n行m列：

預(yù)處理：每個(gè)元素弄一遍，O(N*M)

枚舉壓縮：起點(diǎn)n個(gè)終點(diǎn)n個(gè)，數(shù)量：O(N^2)，對(duì)于每個(gè)矩陣，我們壓縮為一維，只要減一下就好，O(M)

dp：每個(gè)一維O(M)

?

求最大子長(zhǎng)方體或者多維也一樣，預(yù)處理，三維壓二維，二維壓一維，按一維dp來做。

?

算法優(yōu)化的過程就是去除重復(fù)計(jì)算過程的過程

想象一下沒有預(yù)處理沒有dp的樸素做法時(shí)間是多少？

算法的魅力

?

以前寫過這個(gè)問題的總結(jié)了，所以這次可能寫的有點(diǎn)簡(jiǎn)單。看不懂再去之前博客找找

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构作业1 讲解和拓展的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。