對于背包問題，經典的背包九講已經講的很明白了，本來就不打算寫這方面問題了。

但是吧。

我發現，那個最出名的九講竟然沒寫隊列優化的背包。。。。

那我必須寫一下咯嘿嘿，這么好的思想。

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我們回顧一下背包問題吧。

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01背包問題?

題目?
有N件物品和一個容量為V的背包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。?

這是最基礎的背包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。?

f[i][v]表示前i件物品恰放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。?

就是說，對于本物品，我們選擇拿或不拿

比如費用是3.

相關圖解：

我們求表格中黃色部分，只和兩個黑色部分有關

拿了，背包容量減少，我們價值加上減少后最大價值。

不拿，最大價值等于沒有這件物品，背包不變，的最大價值。

完全背包問題?

題目?
有N種物品和一個容量為V的背包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。?

基本思路?
這個問題非常類似于01背包問題，所不同的是每種物品有無限件。

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}

圖解：

因為我們拿了本物品還可以繼續拿無限件，對于當前物品，無論之前拿沒拿，還可以繼續拿，所以是f[i][v-c[i]]+w[i]

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換一個角度說明這個問題為什么可以f[i][v-c[i]]+w[i]，也就是同一排。

其實是這樣的，我們對于黃色部分，也就是當前物品，有很多種選擇，可以拿一個，兩個。。。一直到背包容量不夠了。

也就是說，可以不拿，也就是J1，可以拿一個，也就是G1+w[i]，也可以拿兩個，也就是D1+2w[i]，拿三個，A1+3w[i]。

但是我們看G2，G2其實已經是之前的最大了：A1+2w[i]，D1+w[i]，G1他們中最大的，對么？

既然G2是他們中最大的。

我們怎么求J2？

是不是只要求G2+w[i]和J1的最大值就好了。

因為G2把剩下的情況都保存好了。

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多重背包問題?（正文）

題目?
有N種物品和一個容量為V的背包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。?

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和之前的完全背包不同，這次，每件物品有最多拿n[i]件的限制。

思路一：我們可以把物品全都看成01背包：比如第i件，我們把它拆成n[i]件一樣的單獨物品即可。

思路二：思路一時間復雜度太高。利用二進制思路：一個n位二進制，能表示2^n種狀態，如果這些狀態就是拿了多少物品，我們可以把每一位代表的數都拿出來，比如n[i]=16，我們把它拆成1，2，4，8，1，每一堆物品看成一個單獨物品。

為什么最后有個一？因為從0到16有十七種狀態，四位不足以表示。我們最后補上第五位1.

把拆出來的物品按01背包做即可。

思路三：我們可以利用單調隊列：

https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/82720880

再回想完全背包：為什么可以那么做？因為每件物品能拿無限件。所以可以。而多重背包因為有了最多拿多少的限制，我們就不敢直接從G2中拿數，因為G2可能是拿滿了本物品以后才達到的狀態?。

比如n[i]=2，如果G2的狀態是2w[i]，拿了兩個2物品達到最大值，我們的J2就不能再拿本物品了。

如何解決這個問題？就是我給的網址中的，雙端單調隊列

利用窗口最大值的思想。

大家想想怎么實現再看下文。

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發現問題了嗎？

我們求出J2以后，按原來的做法，是該求K2的，但是K2所需要的信息和J2完全不同，紅色才是K2可能需要的信息。

所以我們以物品重量為差，先把黑色系列推出來，再推紅色系列，依此類推。

這個例子就是推三次，每組各元素之間差3.

這樣就不會出現構造一堆單調隊列的尷尬情況了。

在代碼中繼續詳細解釋：

//輸入 int n; int W; int w[MAX_N]; int v[MAX_N]; int m[MAX_N];

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int dp[MAX_N+1];//壓空間，本知識參考https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/79964233 int deq[MAX_N+1];//雙端隊列，保存下標 int deqv[MAX_N+1];//雙端隊列，保存值

隊列存的就是所有上一行能取到的范圍，比如對于J2，隊列里存的就是G1-w[i]，D1-2w[i]，A1-3w[i]等等合法情況。（為了操作方便都是j，利用差實現最終的運算）

他們之中最大的就是隊頭，加上最多存儲個數就好。

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void solve() {for(int i=0;i<n;i++)//參考過那個網址第二題應該懂{for(int a=0;a<w[i];a++)//把每個分組都打一遍{int s=0;//初始化雙端隊列頭尾int t=0;for(int j=0;j*w[i]+a<=W;j++)//每組第j個元素{int val=dp[j*w[i]+a]-j*v[i];while(s<t && deqv[t-1]<=val)//直到不改變單調性t--;deq[t]=j;deqv[t]=val;t++;//利用隊頭求出dpdp[j*w[i]+a]=deqv[s]+j*v[i];if(deq[s]==j-m[i])s++;//檢查過期}}} }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的单调队列优化的背包问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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