文章目錄

• 題目
• 思路
• 代碼
• 復雜度分析

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題目

輸入一個整數(shù) n ，求1～n這n個整數(shù)的十進制表示中1出現(xiàn)的次數(shù)。

例如，輸入12，那么1～12這些整數(shù)中包含1 的數(shù)字有1、10、11和12。可得1一共出現(xiàn)了5次。

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思路

將個位、十位……每位1出現(xiàn)的次數(shù)加起來就是1一共出現(xiàn)的次數(shù)。

以12為例，個位上1出現(xiàn)了 2 次分別是 01，11（暫時不看11的十位）。

十位上1出現(xiàn)了 3 次，分別是10，11，12。

因此1~12中1一共出現(xiàn)了 2+3=5 次。

兩位數(shù)不好找規(guī)律，我們以四位數(shù)為例。一個四位數(shù)十位上 1 出現(xiàn)的次數(shù)，與十位上的值有關(guān)。根據(jù)值不同，可分為三種情況，值為0，1，2~9：

我們通過三個不同四位數(shù)進行探討，分別是 2304 ， 2314 和 2324 ：

我們將數(shù)字劃分為三部分，當前位（cur），高位（high），以及低位（low），用digit表示當前處于哪個數(shù)位。

當 cur = 0 時： 此位 1 的出現(xiàn)次數(shù)只由高位 high 決定，計算公式為：

high×digit

詳細分析：

對于2304來講，十位出現(xiàn)1的范圍：0010~2219 沒有什么可多說的。

那么1出現(xiàn)的次數(shù)怎么算呢？

光看高位的話，00 ~ 22 總共有 23 種數(shù)字，也就是 001X ~ 221X 。而其中的 ‘X'，有 0 ~ 9 總共 10 種取法，也就是說排列組合下來，可以構(gòu)成有 23*10=230 個十位為1的數(shù)字，如下表：

highcurlow

00	1	0
00	1	1
00	1	2
00	1	3
00	1	4
00	1	5
00	1	6
00	1	7
00	1	8
00	1	9
…	1	…
22	1	0
22	1	1
22	1	2
22	1	3
22	1	4
22	1	5
22	1	6
22	1	7
22	1	8
22	1	9

當 cur = 1 時： 此位 1 的出現(xiàn)次數(shù)由高位 high 和低位 low 共同決定，計算公式為：

high×digit+low+1

詳細分析：

十位上1出現(xiàn)的次數(shù)怎么算呢？

出現(xiàn) 1 的數(shù)字范圍： 0010 ~ 2314

光看高位的話，有 00 ~ 23 總共 24 種組合排列方法，但是！ 對于 00 ~ 22 這 23 種高位來講，低位都有 0 ~ 9 總共 10 種排列組合 —— 0010 ~ 0019 或 2210 ~ 2219 ，但是 23 不同，其低位只有 0 ~ 4 五種排列組合 —— 2310 ~ 2314 。因此，可以構(gòu)成 23*10+5=235 個十位為 1 的數(shù)字（23*10代表 【高位為00~22】 的所有數(shù)字，5代表 【高位為23】 的所有數(shù)字）。

當 cur=2,3,?,9 時： 此位 1 的出現(xiàn)次數(shù)只由高位 high 決定，計算公式為：

(high+1)×digit

詳細分析：

十位上1出現(xiàn)的次數(shù)怎么算呢？

此時與 cur=1 不同，cur=1 時出現(xiàn)的次數(shù)還需要看 low 的值，此時出現(xiàn) 1 的數(shù)字范圍： 0010 ~ 2319 ，也就是說，高位為 23 時，低位也有 0 ~ 9 共計 10 種排列組合方法，與高位為 00 ~ 22 時一樣，因此，cur=2~9 時，十位上 1 出現(xiàn)的次數(shù)為：24*10=240 。

上面各圖源自jyd大佬

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代碼

class Solution { public:int countDigitOne(int n) {long long digit = 1;int low = 0;int cur = n % 10;int high = n / 10;int sum = 0;while(high || cur){if(cur==0){sum += high * digit;}if(cur==1){sum += high*digit+low+1;}if(cur!=0 && cur!=1){sum += (high+1)*digit;}low += cur * digit;cur = high % 10;high /= 10;digit *= 10;}return sum;} };

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復雜度分析

時間復雜度 O(logn)： 循環(huán)內(nèi)的計算操作使用 O(1) 時間；循環(huán)次數(shù)為數(shù)字 n 的位數(shù)，即 log₁₀n，因此循環(huán)使用 O(logn) 時間。

空間復雜度 O(1) ： 幾個變量使用常數(shù)大小的額外空間。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的求1~n这n个整数十进制表示中1出现的次数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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